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1、第四章数值积分定积分的产生是有它重要的应用背景。例如要计算由数据点(xyj (i =0,1,2川丨，n)所围成的平面图形的面积；计算极限n2lim a，这些问题都与定积分有关。在数学分析或 n厂7 n高等数学中已讲过计算定积分的一些方法， 这些方法其最主要的理论基础就是被积函数的原 函数存在。但在实际应用和科学计算过程中， 有些定积分的被积函数的原函数不存在或原函 数比较复杂或不易求出，这时牛顿 -莱布尼茨公式就不好用了。例如定积分1 si n x10 x dx，01 cosx2 dx等其被积函数的原函数不存在。再例如由数据点(Xi，yj (i =0,1,2,|1丨，n)所围成的平面图形的面积
2、不能精确的表示成定积分，但可以近似的表示为数据点(xi, yi) (i =0,1,2,|,n)对应的某个函数的定积分。对这类问题可以用数值积分的方法来讨论和解决。数值积分的应用是较广泛的，尤其在一些实际问题的研究和解决中数值积分法起到了重要的作用，见文献17，20。4.1数值积分初步所谓数值积分就是用函数值的线性组合近似函数的积分值。就是说，如果函数f (x)在n区间a,b上的函数值f(x)(i =0,1,2,山，n)已知，则构造一个数值公式Af(xJ，以i=0b此来近似f(x)dx，即y an(4.1)f (x)dx 八 A f (x)i =0构造数值公式(4.1)的主要方法是利用插值法，即
3、对f(X)构造一个插值多项式p(x)，b用该插值多项式 p(x)的积分近似f(x)dx，即L abbf (x)dx ： p(x)dx( 4.2)aa1梯形公式若函数f (x)在区间a ,b 上的函数值f (a), f (b)已知，那么可以做出过点(a, f (a) , (b, f(b)的线性插值x bx aPi(訂伽市f(b)在区间a,b上用pi(x)代替f (x)得bbb x bxaa f (x)dx：aPi(x)dx二a(rf (a)-f (b)dxaaa a -bb -ab a= -a(f(a) f(b)(4.3 )2b a公式(4.3 )称为梯形公式，记为T(f(a) f (b)。公式
4、(4.3 )的几何意义就是用2梯形面积近似由f(x)所围成的曲边梯形的面积，见图 4.1。2抛物线公式a + ba + b设函数f(x)在区间a,b上的函数值f(a) , f (), f (b)已知，记c，那么2 2可以做出过点(a, f (a), (c, f(c) , (b, f(b)的抛物线，即有二次插值多项式p2(x)(x-b)(x-c) f (a).(x-a)(x-b)f (x-a)(x-c) f (b)(a -b)(a -c)(c_a)(c_b)(b_a)(b_c)b a记h，在区间a,b上用p2(x)代替f (x)得2bbb - aa f(x)dx ：P2(x)dx(f(a) 4f
5、(c) f (b)(4.4 )aa6占f(a) 4f(c)f(b)3公式(4.4)称为Simpson公式，记为(4.5)b aS= = (f(a) 4f(c)f(b)或 S(f(a) 4f (c)f(b)。3公式(4.4 )的几何意义就是用抛物线所围成的曲边梯形面积近似由f (x)所围成的曲边梯形的面积，所以公式(4.4 )也称为抛物线公式，见图4.2。3牛顿-科茨公式如果函数f(x)在区间a,b上的函数值f(x) (i =0,1,2,川,n)已知，则对f(x)可以做出n次Lagrange插值多项式nPn(X)八 h(X)f (Xji =0其中li(x)是 n次Lagrange基插值函数，现用
6、bbPn(x)dx来近似.f (x)dx，所以有aabf (x)dx ：aa Pn(X)dX j Af (Xi)(4.6)其中bA = f li(x)dxL a(4.7)此时把公式(4.6 )称为插值型数值积分公式。现设a = x0 ：为：11( : xn = b，且把区间a,b分成n个相等的小区间Xi,1，记每b a个小区间的长度为hx-x，即h，所以有Xj = a ih (i = 0,1,|1(, n)。令nx = a th,则有0三t乞n，这时有bA 二 li(x)dx-anhnt(t-1)|l|(t-i 1)(t-i -1)川(t-n)0(-1)nhni!(n -i)!(T) h n祐
7、沁讪(t-i Wfzmdt(4.8)引进记号c(n)(-旷n i!(ni)!n0t(t -1)|l|(t -i 1)(t-i -1)川(t-n)dt(4.9)则A =(b -a)c：n)，这时公式(4.6 )可写成bf(x)dx：anPn(x)dx =(b -a) c(n)f (Xi)i=0(4.10)公式(4.10 )称为牛顿-科茨(Newton-Cotes)公式，ci(n)称为牛顿-科茨系数。利用公式(4.9)可以计算出常用的牛顿-科茨系数c(n)( n 6),计算结果见表4.1。例1试用梯形求积公式、抛物线求积公式、牛顿-科茨求积公式计算定积分解(1)利用梯形求积公式有3 23 _ 12
8、21 In2 xdx (In21 In2 3) = 0 1.206949 = 1.206949a +b(2) 用抛物线公式计算，因c2，所以有23 23 - 1222In2 xdx (In21 4In 2 2 In2 3)1 61 (0 4 0.480453 1.206949) =1.04292(3) 若用n=4的牛顿-科茨求积公式，因Xj=a，ih，= 0.5，并由4 4表4.1得3 2721622216272In xdx (31)( In 1 In 1.5 In 2 In 2.5 In 3)190451545907162167=2(00.1644020.4804530.8395891.20
9、6949)9045154590= 1.029817而定积分的具有7位有效数字的准确值为3* In2 xdx = (xln2 x -2x1 n x 2x) 3 =1.029173表4.1nc(n)111221412666133138888716216749045154590192525252519528896144144962884199349941684035280105280358404.2复化数值积分公式从以上例1的计算结果可以看到，一般情况下，抛物线求积公式和牛顿-科茨求积公式要比梯形求积公式好，其主要原因是推导抛物线求积公式和牛顿-科茨求积公式时把积分区间等分的个数（分别为 2个和4个
10、）比梯形公式的区间个数（1个）多。但对某些函数抛物线求积公式并不一定要比梯形求积公式好，如图4.3的情况。但是无论是哪一类的函数，只要被积函数在积分区间上有定义，那么不断增加积分区间的等分的个数时，求积公式得到的结果会逐步的逼近原定积分的精确值。所以考虑到数值求积公式的准确性，先把积分区间a,b分成n个相等的小区间Xi,Xi訂，记每个区间长度为h二人-人，在小区间人，人訂上x 1.-li利用梯形公式得I f(x)dx 眉(f(x)+ fg) i2所以有f f (x)dx = f fi+f (x)dx 賂F2 ( f (Xi) + f (Xi J)a7 xy2hp(f(X。)2f(Xj 山fX)
11、二(以1)该公式称为复化梯形公式，公式(4.11 )的几何意义是用若干个小梯形面积之和来近似由f(x)所围成的曲边梯形的面积，见图4.4。与推导复化梯形公式 的方法相同，若把区间a,b分成2n个相等的小区间人必訂，b a每个区间长度仍记为 h = x 4 -x，在小区间x2i,x2i 2上利用抛物线(Simpson)2n公式得x2i 2hx f(x)dx(f(X2i) 4f(X21)f(X22)x2i3所以有bn 4 x2i 2n 4 hf f(x)dx=5： J f(x)dxZ ：(f(X2i)+4f(X2i+f(X2iQ)ai 八3hnn 4= (f(X) 4、f(X2i4)2、f(X2i
12、) f(X2n)=Sn(4.12)3i =1i d该公式称为复化抛物线(Simps on )公式。4.3数值积分公式的误差估计定义对一个一般的数值求积公式(4.13 )nf (x)dx 八 A f (人)7其中A是不依赖于函数 f (x)的常数。若公式(4.13 )中的f(x)为任意一个次数不高于 m次多项式时，其等号成立，即有bna f(X)dX 八 Af (Xji=0而对f (x)是m 1次多项式时，公式(4.3 )不能精确成立，则说数值求积公式(4.13 )具有m次代数精度。根据代数精度定义和数值求积公式的构造过程有以下结果。定理1设f(x)ECa,b , f(f(x)在a,b上存在，则
13、牛顿-科茨公式(4.6 )的代数精度至少为n，当n为偶数时，牛顿-科茨公式的代数精度为 n 1 证明 设Pn(x)是f (x)的n次Lagrange插值多项式，因f (x)满足以上条件，所以有f(X)二 Pn(x)(n 1)()(n 1)!b其中(X) =(X -Xo)(X -x!)|l(x -Xn)。当f (x)为n次多项式时，定理结果是明显的。设bf(n 1()a (n 1)! (x)dxf(x)为n1次多项式，最高次项的系数为bm，则得f (n1)(x)二bn.1( n 1)!，由此得bbf f (x)dx _ f Pn (x)dx =aa0bn .(n 1)!t(t-1)(t-2)|H(t-n)dt(n 1)! 0n二 bn1hn 2 .0t(t -1)(t -2)川(t-n)dt令n = 2k , k为整数，并再次做变量替换u = t - k，则有n0t(t -1)(t -2)|l|(t - n)d
