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1、问题哪得妙如许，为有高数渗透来义乌中学 方 治“高观点”这一重要数学思想发端于19世纪末20世纪初的一场数学教育改革运动克莱茵贝利运动。德国著名数学家克莱因在其著作高观点下的初等数学提到：基础数学的教师应该站在更高的视角(高等数学)来审视、理解数学问题，只有观点高了，事物才能显得明了而简单；有许多初等数学的现象只有在非初等的理论结构内才能深刻地理解”。所以“高观点”是用高等数学的知识、思想和方法来透视、剖析和解决初等数学的问题。这里所说高等数学的知识、思想和方法是指能够借助实例和直观为中学生所接受的一些初步知识，突出思想和方法, 强调理解和应用, 不追求严格的证明和逻辑推理。现行的高中数学课程
2、标准在必修和选修内容中明显加大了高等数学的知识含量，而且主要以系列、模块和专题的形式呈现，同时渗透了数学模型思想和算法思想等。一、高观点问题及其特征“高观点”问题是以高等数学中的知识为背景或体现高等数学中常用的数学思想方法和推理方法但用初等数学的语言来表述的问题，它有以下几条非常显著的特征。高角度。问题的设计来源于高等数学，所编拟的新题的背景是具有普遍意义的高等数学内容。“高观点”问题从不同的角度抓住了初、高等数学的衔接点，立意新、背景深。这类问题或以高等数学符号、概念直接出现，或以高等数学的概念、定理作为依托融于初等数学知识中。低落点。问题的设计虽来源于高等数学，但解决的方法却是中学所学的初
3、等数学知识，而不是将高等数学引入高考，对学生思维的抽象性、逻辑性以及学生的理解力和自学能力提出了更高的要求，为进入高校学习高等数学作好准备，从而有利于高校选拔人才。重能力。问题的设计在考查知识的基础上，能宽角度、多观点地考查数学素养，有层次地深入考查数学理性思维，它既能实现高等数学与初等数学的接轨，又能有效地考查学生的思维能力和继续学习数学的潜能。二、“高观点问题”的评析在近几年的高考数学试题和样卷中，有许多背景新、设问巧的“高观点”问题，它们几乎都是试卷上各类题型的压轴题，由于高考的选拔功能，这类题往往倍受命题者青睐，成为高考题中一道亮丽的风景。众所周知，高考数学试题的命题方法一般是秘而不宣
4、的，但通过数学手段对公布的数学试题进行合理的分析，寻找数学试题的命题来源，了解高、初等数学之间的关系，从而探究或把握数学试题的命题方法，并提出一些粗浅的应对策略，从而为高三数学复习教学提供一些新的生长点。“高观点”问题的命制方式和方法并不是高等数学问题的简单下嫁，而是问题的背景源于高等数学，命题者通过初等化的处理与巧妙设计潜移默化地渗透高等数学的一些观点与方法，据不成熟归纳，“高观点”问题的命制方法可以包括引用法，初化法，转语法，演变法等. 下面就结合近几年的高考题和今年的样卷，谈谈各种方法在高考命题中的体现。1引用法引用法是编制试题的一个常用方法，是指将高等数学中的某些简单的命题、概念、定理
5、移用为高考数学试题的一种方法。在高等数学中，很多重要的定义、定理都建立在初等数学知识之上，并且需要或者能够用初等数学知识来解决的，这些高初知识的衔接处为引用提供了试题命制的环境和条件。引入概念。在高等数学的学习中，往往会接触很多抽象化概念，而这些抽象化概念往往与高中知识联系比较紧密，是联系高等数学和初等数学知识的衔接点.【例1】（2009浙江理10）对于正实数，记为满足下述条件的函数构成的集合且,有.下列结论正确的是（ ）（A）若（B）若（C）.s.5.u.c.o.m （D）命制背景：本题的命制背景是利普希茨（lipschitz）条件，即若存在常数,使得对定义域的任意两个不同的实数均有成立，则
6、称在上满足利普希茨（lipschitz）条件。直观上，符合利普希茨条件的函数的斜率，必小于一个称为利普希茨常数的实数，实际上问题中正实数就是这个常数，该常数依函数而定，而问题中的集合就是满足就是满足利普希茨条件的函数集合。【例2】（2012福建理7）设函数，则下列结论错误的是（ ）A的值域为 B是偶函数 C.不是周期函数 D不是单调函数命制背景：本题以抽象的狄利克雷函数作为命题的背景，它是一个处处不连续、处处极限不存在、不可积分的偶函数；它没有具体的图形、解析式和实际背景；它以任何正有理数为周期，但它无最小正周期。 引入定义和定理。保持高等数学中的定义或者定理的描述方式，将高等数学中的定义，定
7、理直接引用为高考试题的已知，用作解题的依据，借此考查学生相关初等数学知识的同时也考查学生对高数新定理的理解。【例3】（2012福建理10）函数在上有定义，若对任意，有，则称在上具有性质。设在1,3上具有性质，现给出如下命题：在上的图像是连续不断的； 在上具有性质；若在处取得最大值1，则，；对任意，有。其中真命题的序号是（ ）A B C D命制背景：本题没有直接提出函数凹凸性的定理，而是直接把有关凹凸性的定理作为高考试题的已知和解题的依据，只是粗略的说函数在上具有性质，有关凹凸性的定理是近几年高考的热点，学生需要在理解式子所反映的图象特征的基础上，能借助初等知识与方法正面推理论证并推广（和的判定
8、），同时能够举反例对和进行判定，例如可取反例，可取反例即可。【例4】（2012安徽文15）若四面体的三组对棱分别相等，即，则_(写出所有正确结论编号)。 四面体每组对棱相互垂直 四面体每个面的面积相等从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于而小于连接四面体每组对棱中点的线段互垂直平分从四面体每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长命制背景：本题没有直接提出等腰四面体的名称和定义，但是四面体的三组对棱分别相等，即，就是等腰四面体的定义，好象平面几何中的等腰三角形。下面的五个命题的判定正是与等腰四面体有关的性质。其实只要等腰四面体拼补成一个长方体，则等腰四面体的每条棱就是长方体每个面的
9、一条面对角线，而且五个命题的判定也基本上能够引刃而解。2初化法 初化法指的对高等数学中的(问题、概念、原理)的特殊化，具体化，低维化使之成为具体的初等化内容。初化法是命制题目的一个有效的方法，它使得高等数学中的一般、抽象的问题变成具体的、适合中学生做的问题，有较强的综合性和新颖性。改变形式。将一些高等数学中的命题或原理的条件和结论加以变化（强化或添加新的设问），或者选取新的角度变化原理原有的承载方式。【例5】（2012江西理6）观察下列各式：， ， 则（ ）A28 B76 C123 D199命制背景：学生解决这个问题不难，只要发现每一个式子右边的数字规律通过归纳推理的思想就可以得到答案，是一个
10、斐波那契数列，组合数学中一个重要的数列.但是从这个问题的内部机理来考究，其实命题者从斐波那契数列的递推式的特征方程出发，其实它的特征方程为，而从，可以发现和，和刚好是特征方程的两个根，并且有，和斐波那契数列的递推式非常吻合，体现了高处出题，初等作题的思想。特殊化。从一般问题出发，通过特殊化手段命制出特殊的问题【例6】（2013浙江理、文样卷10）如图，函数的图象为折线ABC,设，则函数的图象为（ ）命制背景：函数的迭代，粗略的讲是函数重复的与自身复合，用数学语言来严谨的表示：设是的函数，对任意,记定义，则称函数为的次迭代。本试题实际给出了一个具体的分段函数的图像，请学生选择4次迭代后的函数图像
11、，本题并不需要学生去求四次迭代后的函数，而只需学生先迭代一次或两次后图像会发生什么变化，观察有何规律，从而归纳后作出选择。重新组合。即根据所考查知识和方法的需要，将一些高等数学中简化的初等命题进行有机的组合，构造出较为综合的新题的方法。重新组合后的试题尽量构造设问之间的联系，抹去问题之间的“缝隙”。【例7】（2012江西理21）若函数满足（1）；（2）对任意，有；（3）在上单调递减。则称为补函数。已知函数。（1）判断函数是否为补函数，并证明你的结论；（2）若存在，使得，若是函数的中介元，记时的中介元为，且，若对任意的，都有，求的取值范围；（3）当，时，函数的图像总在直线的上方，求的取值范围。以
12、点不在直线 的上方，不符合条件；命制背景：本题以新定义的函数补函数为载体，在函数与导数、不等式以及数列等知识的交汇处考查学生对热点知识以及分类讨论、数形结合等思想的综合应用，但是这里新定义的补函数实际上是反函数是自己本身的自反函数，即定义域为A的函数存在反函，若对任意，恒有，而和等价。自反函数自身关于直线对称，自反函数很多，以及（3）中当时都只是自反函数的一个特例而已，而上面提到的中介元实际就是函数的不动点，即对于函数使得的值，实际上是图象与直线交点的横坐标。如果从函数迭代的角度来看，就是函数二次迭代后函数的不动点。本题命制问题实际上是将一些高等数学中简化的初等命题自反函数、不动点、函数迭代等
13、进行有机的组合，以直线作为它们之间的联系点，抹去问题之间的“缝隙”，构造出较为综合的新题的方法。3转语法高等语言初等化“高数语言的初等化”是指改变高等数学中的概念和定理的表述方式，将其转化为等价的初等数学语言，借此回避高数概念，将高等数学语言的思想隐藏在初等数学语言中。【例8】（2012湖南文16）对于，将n表示为,当时，当时为0或1，定义如下：在的上述表示中，当中等于1的个数为奇数时,；否则（1） （2）记为数列中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则的最大值是_.【例9】（2011湖南理16）对于，将表示为，当时，当时，为0或1.记为上述表示中为0的个数，（例如，：故）则（1）
14、（2）命制背景：上面两题分别是近两年湖南省的高考题，一文一理，命制的背景非常相似，都是基于正整数的二进制表示，将表示为和都是回避进制概念改用初等化描述的一种表现。旨在考查学生在新环境下的运算能力、创新意识以及创造性解决问题的能力.初等语言高等化 “初数语言高等化”是借用高等数学语言表述初等内容，考核具有高等数学背景的初数知识(思想方法)等；【例10】（2011天津理8）对实数和，定义运算“”： 设函数若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）A BC D命制背景：以新定义运算为背景，构造一个新的运算系统，无实质的高等数学概念和定理，仅仅运用语言上模仿高等数学的运算系统.诸如这样的
15、高考试题很多，2000年春季高考题目首次出现新定义以来，高考试题中不断出现新定义的题目，这样题目背景比较新颖，能有效考查学生创新能力，又很难在课本上找到原型。【例11】（2012北京理20）设A是由个实数组成的行列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记为所有这样的数表构成的集合。对于,记为A的第行各数之和，为A的第列各数之和；记为中的最小值。对如下数表A，求的值；11-0.80.1-0.3-1设数表，形如，求的值；11-1给定正整数，对于所有的，求的最大值；命制背景：本题不是考查某个确定的高等数学概念，但是语言形式的呈现上是运用高等数学的形式. 运用高等数学语言描述集合，有比较多的抽象的符号，具有高度的概括性和一般性既有逻辑语言的特点，又有矩阵语言的特征，学生如果理解抽象语言背后所表达的初等意蕴就可以解决前面两小题，而第三小题有比较强的技巧性和竞赛思维，只有极少数同学能解决。4演变法变化定理的条件和结论。着眼于已知的高等数学定理，从已知的高等数学定理出
