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1、第四章用极坐标解平面问题4.1.极坐标中的平衡微分方程工程上常常可以遇到圆形、环形、楔形或扇形类的结构物。在这些情况下，用直角坐标描述边界条件会变得相当复杂，由于极坐标使得结构的边界与坐标线一致，因而使边界条件的描述更加简单，使问题更易于求解。首先我们定义极坐标中的应力分量和体积力分量。用夹角为d的两条极径和两条半径PTPTPPPy图4.2单元体上的应力ox相差为dp的同心圆弧截取一个微元体（图4.1）。圆弧截面称为P面。面的法向沿径向而且指向P增加方向，这一圆弧面称为正P面，反之称为负P面。极径截面称为面。面的法向沿环向而且指向增加方向，这一极径截面称为正面。反之称为负面。P面上的正应力用，
2、p表示，剪应力用p表示。面上的正应力用b表示，剪应力用Tp表示。用f表示体积PP力在径向的分量,用f表示体积力在环向的分量。应力的符号规定与直角坐标下的规定完全相同：正面上指向正向（坐标增加的方向）的应力为正值应力，负面上指向负向（坐标减小的方向）的应力亦为正值应力，反之，为负值的应力。体积力符号规定也与直角坐标下的规定相同，指向坐标轴正向（坐标增加的方向）的体积力为正值，反之，为负值。直角坐标和极坐标之间具有严格的变换关系。从理论上说，我们完全可以通过坐标变换的方法由直角坐标的基本方程导出极坐标下的相应方程。但是，为了加深对极坐标下平衡方程物理意义的理解，我们仍然通过极坐标下的微分单元体的平
3、衡导出极坐标下的平衡微分方程。我们取一个微分单元体研究，各个面上的应力分量和体积力如图4.2所示。负P面上的正应力为,，剪应力为TP;正P面的坐标比负P面增加了dP，所以PPT正P面的应力和负P面相比，应力产生了一个增量，分别为,+竺Pdp和T+叫dP。PPPPT负面上的正应力为，剪应力为P；正面的坐标比负面增加了d，所以正面的应力和负面相比，应力产生了一个增量，分别为，+d和T+d。P由于微分单元体厚度是1,所以负面的面积为吨，正P面的面积为（P+dP）d申;正、负9面的面积均为dp。体力为fp和人。各面的合力对形心求矩MC=0，可以再次证明剪应力互等定理。二9PP9取各面上的力在P方向上的
4、平衡，有F=0:P4.1)doQ,pdp)(P,dp)pdqQ,d)dpsindpp92,.d0抚八、八d9d9-odpsm,(,d9)dpcos一dpcos,fpdpd9=0929pd929p2a）由于d9是个微量，所以有cos沁1和sin业成立。把它们用于（a）式并略222去高一阶的无穷小量。利用剪应力互等定理并在方程两边同除以pdpdp,整理后得dodo-o+叫+p紅+f=0dppd9b)再考察各面上的力在9方向上的平衡F9=0，同理可得:ddo29P,9-,92-,f=0dppd9p9（b）式和（c）式联立得到一组平衡微分方程dodo-oc)+叫+p+f=0dppd9ddo29P-+4
5、+9P-+f=0dppd9p94.2)这个方程组中包含了o、o9和TP9=T9p三个独立的未知函数，方程本身比直角坐99标下的相应方程复杂得多。一般情况下，它的求解也复杂得多。4.2.极坐标中的几何方程及物理方程在4.1节中我们导出了三个应力分量应该满足的平衡微分方程。但是仅仅通过两个方程求解三个未知函数是不够的，必须找到一个补充方程，也就是说要考虑变形几何关系。首先要定义在极坐标中的应变分量与位移分量。比照在直角坐标中的应变分量的定义办法，我们定义与应力相对应的应变，s表示径向线段的线应变（径向正应变），,表示环向线段的线应变（环向正应变），丫表示径向线P,段和环向线段之间的直角改变量（剪应
6、变）。位移分量是按照位移的方向定义的，u表示径向位移，u表示环向位移。,P变形几何方程是描述位移和应变之间关系的一组方程。欲研究平面弹性体在极坐标下的变形，要选取相互正交的径向线段和环向线段。径向线段PAdp,环向弧线所含的弧度为d,弧长PBpd,。线段端点及其坐标分别为P（p,）,A（p+dp,）和B（p,d,）。由于极坐标中正交线段的位移可以看作沿径向的位移和沿环向位移的合成。在分析位移与应变关系时我们分两步完成，第一步先考察正交线段仅发生径向移动（不考虑环向位移）所产生的位移与应变分量间的关系（图4.3）。正交线段的径向移动使P点移动到戶点，位移为up图4.3径向位移A点移动到A点，由于
7、A、P来的函数增量色亠dpdpA点的位移为pdu乔dp这两点的环向位移u,0，PA的转两点极角相同，A点极径比P点的极径增加了dp，所以其径向位移产生一个由于p变化带角为零。线段PA的伸长量可以通过两个端部A、P两点的位移差计算，产生的径向线应变为,PA-PAAA-PPpPAPAduu+pdpupdppdu即a)正交线段的径向移动同时使B点移动到B点，由于B、P两点极径相同，B点极角比duP点的极角增加了d,，所以其径向位移产生一个由于变化带来的函数增量忒d，B点的径向位移为updu忒d，这两点的环向位移也有u同理，PB弧所产生的环向线应变为PB-PBPB-PBu1PBPB,（p+u）d一pd
8、Pdu二一p-pb)由于B、BBPPP两点径向位移不同，就使得PB产生了一个转角卩二PB(u卩二du+&Td）一updup-pdc)故剪应变为厂P9dupdd)第二步是在第一步的基础上研究径向位移后的两条线段端点P、A和B只发生环向位移而不发生径向位移(图4.4)。正交线段的环向移动使P点移动到P点，位移为u申，A点移动到A点。A点极径比P点的极径增加了dp，所以其环向位移产生一个由于P变化du带来的函数增量忒dPA点的环向位移为AA,du=u+dpdpe)=0。线段PA位移到PA这两点的径向位移Up后，其伸长量可以视为零，所以其径向线应变，二0Pf)正交线段的径向移动使B点移动到B点，由于B
9、点极角比P点的极角增加了d申,du其环向位移产生一个由于变化带来增量乔d，B点的环向位移为BB:duBB二u+丄ddPb一pbPB弧所产生的环向线应变为，=PB一PB，也就是PBdu（u一d）一u“PB-PBBB-PPd,=PBPBpd即pg）由图4.5可以看出，线段PA位移到PA所转过的角度包含两部分，一部分是径线OA转动到OA的位置时刚体转动角，1h）另一部分是环向位移使线段PA转动到PA位置时转过的角度，只有这一部分转角才是1正交线段的直角改变量，a可以这样计算ZAPA2PA-dp丄dpi）duj）duuaZAPA-3-p2dpp把两种位移产生的径向应变、环向应变和剪应变叠加,+,ppp
10、,，+,（k）二+p+aIppp把（a）、（b）、（d）、（f）、（g）和（j）式代入（k）式后得到总的径向应变、环向应变和剪应变与位移之间的关系，即几何方程如下：dupdp4.3)duu,4+p-pdpduduu”-10，QE”002(1+-)TP1PP9WG写成矩阵的形式为4.4)按照与2.4节相同的做法，可以得到用应变表示应力的平面应力状态下物理方程的极坐标形式占(P1-E-(1卩24.5)TGPpEP2(1+卩)其矩阵形式为P，QP4.5)01-01-将（4.4）式中的E和卩分别用E和卩代换，可以得到平面应变状态下物理方1_口21卩程的极坐标形式1一卩2卩(Q1Q)Ep1p4.6)1P
11、2E(QQ)E1-P-PG2(1+-)TEp01-01-它的矩阵形式为PTJP丿4.6)01-至此，我们已经得到两个独立的平衡微分方程，三个几何方程和三个物理方程，计八个方程，含有需要求解的八个未知函数，具备了求解的基本条件。4.3极坐标中的应力函数与相容方程在平面直角坐标系求解问题时，采用应力函数是一种行之有效的方法，我们在用极坐标求解时也试图采用同样的方法，为此我们需要导出极坐标下用应力函数求解的基本方程。这里仅考虑体积力为常量的情况。首先把用直角坐标表示的拉普拉斯方程转化为极坐标表示。通过两个坐标系的转换很容易的得到应力函数从直角坐标系到极坐标的转化，x(p,),y(P,)，(P,)。下面我们用求在极坐标下对x和y的方向导数的方法导出极坐标下用应力函数描述的相容方程。x和P之间的夹角为-(图4.6),所以在极坐标下对x的方向一阶导数为.，COSsin(a)xppQ不把整体视为新函数，再求对它对x的一阶导数，即用它代替(a)式中的得到x2.，()，(cossin)cos(b)(c)x2xxdpdpp/dd.、.(cossin)smpddppd所以有d2d22.c，cos2+sincosydx2dp2p2d2d2.d2.sincos+sin2+s
