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1、 精品资料第1讲导数的概念及运算知 识 梳 理1函数yf(x)在xx0处的导数(1)定义：设函数yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，当x无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称f(x)在xx0处可导，并称常数A为函数f(x)在点xx0处的导数，记作f(x0)可表示为“当x0时，A”(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是过曲线yf(x)上点(x0，f(x0)的切线的斜率2函数f(x)的导函数若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数该函数称为f(x)的导函数，记作f(x)3
2、基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)C(C为常数)f(x)0f(x)xn(nQ*)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)exf(x)exf(x)ax(a0，a1)f(x)axln_af(x)ln xf(x)f(x)logax(a0，a1)f(x)4.导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)辨 析 感 悟1对导数概念的理解(1)f(x0)是函数yf(x)在xx0附近的平均变化率()(2)f(x0)与f(x0)
3、表示的意义相同()2对导数的几何和物理意义的理解(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()(4)物体的运动方程是s4t216t，在某一时刻的速度为0，则相应时刻t0.()(5)曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同()3导数运算问题(6)若f(x)a32axx2，则f(x)3a22a2x.()(7)函数f(x)x2ln x的导函数为f(x)2x2.()(8)函数y的导数是y.()感悟提升1一个区别曲线yf(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线唯一，若斜率存
4、在时，切线的斜率kf(x0)；曲线yf(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条2三个防范一是并不是所有的函数在其定义域上的每一点处都有导数，如函数y|x|在x0处就没有导数二是曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别，如(3)三是对函数求导要看准自变量，是对自变量的求导，而不是对其它参数的求导，如(6)考点一导数的运算【例1】 (1)求下列函数的导数：yx2sin x；y.(2)(2014济宁模拟)已知f(x)x(2 012ln x)，f(x0)2 013，则x0_.(1)解y(x2)sin
5、 xx2(sin x)2xsin xx2cos x.y.(2)解析f(x)2 012ln xx2 013ln x，由f(x0)2 013，得ln x00，解得x01.答案1规律方法 (1)进行导数运算时，要牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记错记混(2)求导前应利用代数、三角恒等变形将函数先化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错【训练1】 (1)已知f(x)，则f(1)_.(2)已知函数f(x)fcos xsin x，则f的值为_解析(1)f(x)，则f(1).(2)f(x)fsin xcos x，所以ff，解得f1，故ffcos sin 1.答案(1)(2)1考点二利
6、用导数的几何意义求曲线的切线 方程【例2】 已知函数f(x)x34x25x4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)求经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程审题路线(1)求f(x)求f(2)求f(2)由点斜式写出切线方程(2)设切点P(x0，y0)求f(x0)由点斜式写出过点A的切线方程把点P代入切线方程求x0再代入求得切线方程解(1)f(x)3x28x5，f(2)1，又f(2)2，曲线在点(2，f(2)处的切线方程为y2x2，即xy40.(2)设曲线与经过点A(2，2)的切线相切于点P(x0，x4x5x04)，f(x0)3x8x05，切线方程为y(2)(3x8x05)
7、(x2)，又切线过点P(x0，x4x5x04)，x4x5x02(3x8x05)(x02)，整理得(x02)2(x01)0，解得x02或1，经过A(2，2)的曲线f(x)的切线方程为xy40，或y20.规律方法 利用导数的几何意义求曲线的切线方程时，注意区分是曲线在某点处的切线，还是过某点的切线曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0)求过某点的切线方程时需设出切点坐标，进而求出切线方程【训练2】 (1)(2014扬州期末)设a为实数，函数f(x)x3ax2(a3)x的导函数为f(x)，且f(x)是偶函数，则曲线yf(x)在原点处的切线方程为_ (2)曲
8、线yx(3ln x1)在点(1,1)处的切线方程为_解析(1)f(x)3x22ax(a3)，又f(x)为偶函数，则a0，所以f(x)x33x，f(x)3x23，故f(0)3，故所求的切线方程为y3x.(2)函数的导数为f(x)3ln x1x3ln x4，所以在(1,1)的切线斜率为k4，所以切线方程为y14(x1)，即y4x3.答案(1)y3x(2)y4x3考点三利用曲线的切线方程求参数【例3】 (2013新课标全国卷改编)设函数f(x)ex(axb)x24x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y4x4.求a，b的值解f(x)aexex(axb)2x4ex(axab)2x4，f(0
9、)ab44，又f(0)b4，a4.规律方法 已知曲线在某点处的切线方程求参数，是利用导数的几何意义求曲线的切线方程的逆用，解题的关键是这个点不仅在曲线上也在切线上.【训练3】 (2013福建卷改编)设函数f(x)x1(aR，e为自然对数的底数)曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，求a的值解由f(x)x1，得f(x)1.又曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，得f(1)0，即10，解得ae.1在对导数的概念进行理解时，特别要注意f(x0)与(f(x0)是不一样的，f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值，不一定为0；而(f(x0)是函数值f(x0)的导数，而函数
10、值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0)0.2对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误易错辨析3求曲线切线方程考虑不周【典例】 (2014杭州质检)若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)x33x22x和yx2a都相切，则a的值是_ 错解 点O(0,0)在曲线f(x)x33x22x上，直线l与曲线yf(x)相切于点O.则kf(0)2，直线l的方程为y2x.又直线l与曲线yx2a相切，x2a2x0满足44a0，a1.答案1错因 (1)片面理
11、解“过点O(0,0)的直线与曲线f(x)x33x22x相切”这里有两种可能：一是点O是切点；二是点O不是切点，但曲线经过点O，解析中忽视后面情况(2)本题还易出现以下错误：一是O(0,0)不是切点，无法与导数的几何意义沟通起来；二是盲目设直线l的方程，导致解题复杂化，求解受阻正解 易知点O(0,0)在曲线f(x)x33x22x上，(1)当O(0,0)是切点时，同上面解法(2)当O(0,0)不是切点时，设切点为P(x0，y0)，则y0x3x2x0，且kf(x0)3x6x02.又kx3x02，由，联立，得x0(x00舍)，所以k，所求切线l的方程为yx.由得x2xa0.依题意，4a0，a.综上，a
12、1或a.答案1或防范措施 (1)求曲线的切线方程应首先确定已知点是否为切点是求解的关键，分清过点P处的切线与在点P处的切线的差异(2)熟练掌握基本初等函数的导数，导数的运算法则，正确进行求导运算【自主体验】若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2x9都相切，则a等于_解析设过(1,0)的直线与yx3相切于点(x0，x)，所以切线方程为yx3x(xx0)，即y3xx2x，又(1,0)在切线上，则x00或.当x00时，由y0与yax2x9相切可得a；当x0时，由yx与yax2x9相切可得a1.答案1或基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1(2014深圳中学模拟)曲线yx3在原点处的切线方程为_解析y3x2，ky|x00，曲线yx3在原点处的切线方程为y0.答案y02已知f(x)xln x，若f(x0)2，则x0_.解析f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln x1，由f(x0)2，即ln x012，解得x0e.答案e3(2014辽宁五校联考)曲线y3ln xx2在点P0处的切线方程为4xy10，则点P0的坐标是_解析由题意知y14，解得x1，此时41y10，解得y3，点P0的坐标是(1,3)答案(1,3)4(2014烟台期末)设函数f(x)xsin xcos x的图象在点(t，f(t)处切线的斜率为k，则函数kg(t)的部分图象为_解析函数f(x)的导函数为f
