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1、专题过关检测（十六） 立体几何1(2019石家庄模拟)如图，已知三棱锥PABC中，PCAB，ABC是边长为2的正三角形，PB4，PBC60.(1)证明：平面PAC平面ABC；(2)设F为棱PA的中点，在AB上取点E，使得AE2EB，求三棱锥FACE与四棱锥CPBEF的体积之比解：(1)证明：在PBC中，PBC60，BC2，PB4，由余弦定理可得PC2，PC2BC2PB2，PCBC，又PCAB，ABBCB，PC平面ABC，PC平面PAC，平面PAC平面ABC.(2)设三棱锥FACE的高为h1，三棱锥PABC的高为h，则VFACESACEh1SABChSABChVPABC.三棱锥FACE与四棱锥C
2、PBEF的体积之比为12.2(2020届高三福建五校第二次联考)如图，在五面体ABCDFE中，底面ABCD为矩形，EFAB，BCFD，过BC的平面交棱FD于P，交棱FA于Q.(1)证明：PQ平面ABCD；(2)若CDBE，EFEC1，CD2EFBC，求五面体ABCDFE的体积解：(1)证明：因为底面ABCD为矩形，所以ADBC.又AD平面ADF，BC平面ADF，所以BC平面ADF.又BC平面 BCPQ，平面BCPQ平面ADFPQ，所以BCPQ.又PQ平面ABCD，BC平面ABCD，所以PQ平面ABCD.(2)由CDBE，CDCB，易证CDCE.由BCCD，BCFD，易证BC平面CDFE，所以C
3、BCE，即CD，CE，CB两两垂直如图，连接FB，FC，因为EFEC1，CD2EFBC，所以CD2，BC3，V四棱锥FABCD(23)12，V三棱锥FBCE1，所以VABCDFEV四棱锥FABCDV三棱锥FBCE2.3如图，在矩形ABCD中，AB4，AD2，E是CD的中点，将ADE沿AE折起，得到如图所示的四棱锥D1ABCE，其中平面D1AE平面ABCE.(1)证明：BE平面D1AE；(2)设F为CD1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使得MF平面D1AE，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：(1)证明：四边形ABCD为矩形且ADDEECBC2，AEB90，即BEAE，又平面D1AE平
4、面ABCE，平面D1AE平面ABCEAE，BE平面D1AE.(2)，理由如下：取D1E的中点L，连接FL，AL，FLEC.又ECAB，FLAB，且FLAB，M，F，L，A四点共面，若MF平面AD1E，则MFAL.四边形AMFL为平行四边形，AMFLAB，即.4(2019蓉城名校第一次联考)如图，在四棱锥PABCD中，ADBC，ABBC，ADAB2BC2，APAC，BP3BC.(1)求证：平面PAD平面ABCD；(2)若PAD为锐角，且PA与平面ABCD所成角的正切值为2，求点C到平面PAB的距离解：(1)证明：在直角梯形ABCD中，BC1，AB2，ABBC，AC，即APAC，BP3BC3，BA
5、2AP2BP2，BAAP，又ADBC，BAAD，又APADA，BA平面PAD，BA平面ABCD，平面PAD平面ABCD.(2)如图，过点P作POAD交AD于点O，连接OC，由(1)可知PO平面ABCD，则PAO为PA与平面ABCD所成的角，tanPAO2.又AP，AO1，PO2.AO綊BC，四边形ABCO为矩形，OCAD.设点C到平面PAB的距离为d，由V三棱锥CPABV三棱锥PABC，可得SPABdSABCPO，dPO2.故点C到平面PAB的距离为.5.如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，EFCD，CDEA，CD2EF2，ED，M为棱FC上一点，平面ADM与棱FB交于点N.(1
6、)求证：EDCD；(2)求证：ADMN；(3)若ADED，试问平面BCF是否可能与平面ADMN垂直？若能，求出的值；若不能，说明理由解：(1)证明：因为四边形ABCD为矩形，所以CDAD.又因为CDEA，EAADA，所以CD平面EAD.因为ED平面EAD，所以EDCD.(2)证明：因为四边形ABCD为矩形，所以ADBC，又因为AD平面FBC，BC平面FBC，所以AD平面FBC.又因为平面ADMN平面FBCMN，所以ADMN.(3)平面ADMN与平面BCF可以垂直证明如下：连接DF.因为ADED，ADCD，EDCDD，所以AD平面CDEF.所以ADDM.因为ADMN，所以DMMN.因为平面ADM
7、N平面FBCMN，所以若使平面ADMN平面BCF，则DM平面BCF，所以DMFC.在梯形CDEF中，因为EFCD，DECD，CD2EF2，ED，所以DFDC2.所以若使DMFC成立，则M为FC的中点所以.6(2019福州质检)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，M，N分别是AB，AA1的中点，且A1MB1N.(1)求证：B1NA1C；(2)求M到平面A1B1C的距离解：(1)证明：如图，连接CM.在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，CM平面ABC.所以AA1CM.在ABC中，ACBC，AMBM，所以CMAB.又AA1ABA，所以CM平面ABB1A
8、1.因为B1N平面ABB1A1，所以CMB1N.又A1MB1N，A1MCMM，所以B1N平面A1CM.因为A1C平面A1CM，所以B1NA1C.(2)连接B1M.在矩形ABB1A1中，因为A1MB1N，所以AA1MA1B1N.所以tanAA1MtanA1B1N，即.因为ABC是边长为2的正三角形，M，N分别是AB，AA1的中点，所以AM1，CM，A1B12.设AA1x，则A1N.所以，解得x2.从而SS2，A1CB1C2.在A1CB1中，cosA1CB1，所以sinA1CB1，所以SA1CB1CsinA1CB1.设点M到平面A1B1C的距离为d，由V三棱锥MA1B1CV，得SdSCM，所以d，即点M到平面A1B1C的距离为.
