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1、v1.0可编辑可修改实验名：离散系统的Z域分析一、实验目的1、掌握离散序列z变换的计算方法。2、掌握离散系统系统函数零极点的计算方法和零极点图的绘制方法，并能根据零极点图分 析系统的因果性和稳定性。3、掌握利用MATLAB进行z反变换的计算方法。二、实验原理与计算方法1、z变换离散序列x(n)的z变换定义为：x (Z) x(n)z n。n在MATLAB可以利用符号表达式计算一个因果序列的z变换。其命令格式为:syms n;f=(1/2F n+(1/3F n;ztra ns(f)2、离散系统的系统函数及因果稳定的系统应满足的条件一个线性移不变离散系统可以用它的单位抽样响应h( n)来表示其输入与
2、输出关系，即y( n)= x ( n)* h (n)对该式两边取 z变换，得：Y(z)= X(z) H(z)则：H (z)X(z)将H z)定义为系统函数，它是单位抽样响应h( n)的z变换，即H(z) Zh(n) h(n)z nn对于线性移不变系统，若 n0时，h( n)=0，则系统为因果系统；若 |h( n) | ，则n系统稳定。由于h( n)为因果序列，所以 H(z)的收敛域为收敛圆外部区域，因此 H(z)的收敛 域为收敛圆外部区域时，系统为因果系统。因为h (z) h(n)z n，若z=1时Hz)收敛,n即H (z) |z 1| h(n) |，则系统稳定，即 H(z)的收敛域包括单位圆
3、时，系统稳定。n因此因果稳定系统应满足的条件为：|z|,1，即系统函数 Hz)的所有极点全部落在z平面的单位圆之内。3、MATLAB中系统函数零极点的求法及零极点图的绘制方法MATLAB中系统函数的零点和极点可以用多项式求根函数roots ()来实现，调用该函数的命令格式为：p=roots(A)。其中A为待求根多项式的系数构成的行向量，返回向量p是包含该多项式所有根位置的列向量。女口：求多项式 A(z) Z -z -的根的MATLA晞令为:48A=1 3/4 1/8;p=roots(A)运行结果为：P=也可以用z,p,k=tf2zp(B,A)函数求得。其中z为由系统的零点构成的向量，p为由系统
4、的极点构成的向量，k表示系统的增益；B、A分别为系统函数中分子分母多项式的系数向 量。离散系统的系统函数可能有两种形式,列，女口 H1(z)z3 2zz4 3z3 2z2 2z 1一种是分子和分母多项式均按另一种是分子分母多项式均按z的正次幕降幕排z的负次幕升幕排列，如H2(z)在构造多项式系数向量时,分子和分母多项式系数向量1 1z1的维数一定要相同,缺项用0补齐。对于H(z)其分子多项式的系数向量应为:B=0 1 0 2 0；#分母多项式的系数向量应为：A=1 3 2 2 1。对于H2(z)其分子多项式的系数向量应为：B=11 0；分母多项式的系数向量应为：A=1 1/2 1/4。绘制系统
5、函数的零极点图可由MATLAB中的zplane函数实现。该函数的调用方法为：zplane(B,A)或者zplane(z,p,k)，其中B，A，z， p，k的含义与tf2zp 函数相同。若调用zplane(B,A)绘图，则首先将系统函数中分子分母多项式变换成按z的正次幕降幕排列的系数向量，再求零极点。4、z反变换的计算方法z反变换可由部分分式展开法求得。由于指数序列anu( n)的z变换为一，因此求反z azX(z)A1A2zz z1 z z2其中Ai(z zi)X (z)zz z (i 1,2,k)称为有理函数变换时，通常对 荃 进行展开:z ZkX (z)的留数。z分两种情况进行讨论:(1)
6、X(z)的所有极点均为单实极点此时x(z)-A互 一AZz z1 z z2Akz ，则X( z)的z反变换为: z Zkkx(n) AoA (zji 1(2) X(z)有共轭极点设X( z)有一对共轭极点 p1,2e j ,则 X(z)r1zr2z AzzPi z P2 z ZiAkZ?z Zk其中留数的计算方法与单极点相同，即(z Pi)-X|z Pi |ri|ej，r2=ri因此，只要求出部分分式展开的系数(留数)，就可以直接求出 X(z)的z反变换zx( n)。在MATLAB可利用函数residue。求解。令B和A分别是X (z)的分子和分母多项z式构成的系数向量，则函数 r,p,k=r
7、esidue (B,A)将产生三个向量r、p、k，其中r为包含X (z)部分分式展开系数ri( i =1,2,N)的列向量，p为包含X (z)所有极点的行向量，k zz为包含X(z)部分分式展开的多项式项的系数G(j =1,2,，MN)的列向量，若 M N,则kz为空阵。用residue()函数求出X(z)部分分式展开的系数后，便可根据其极点位置分布情况直z接求出X(z)的反变换x(n)。2女口：已知X(z) 丁一z，求其z 3z 2首先利用residue()函数求出X (z) z的MATLAB令为：z反变换x(n)。的部分分式展开的系数和极点,z2 3z 2相应B=0 1 0;A=1 3 2
8、;r,p,k=residue (B,A)运行结果为：-1-2-1由以上结果可得:X(z)一;即X(z)只有两个单极点，其 z 1z反变换为:x(n) 2( 2)n ( 1)nu(n)。已知X (z)3Z2Z2 2z-，求其z反变换x( n)。1利用residue。函数求出X (z)z的部分分式展开的系数和极点,得:B=0 0 1 1;A=1 -2 2 -1;r,p,k=residue (B,A) k =可见，X (z)包含一对共轭极点，用abs()和angle()函数即可求出共轭极点的模和相位,z相应命令为：p1=abs(p)p1 =a1=a ngle(p)/pi0e 3，则 X(z)即共轭极
9、点为：p1,2x(n)2 cosn32 u(n)三、实验内容(1)求下列序列的z变换：_ nn2 u(n) ； -(1/2)a1 =zz2z，其z反变换为z 1j3z e 3j2z e 3u(n) ； (1/2)nn+(1/3)u(n)2-nu(n)的Z变换程序如下:syms n;f=(1./2F( n)ztra ns(f)结果为：f =(1/2)Anans =2*z/(2*z-1)-(1/2) n u(n)的Z变换程序为:syms n;f=-(1./2)A( n)ztra ns(f)结果为:-(1/2)Anans =-2*z/(2*z-1)(1/2) n+(1n u (n)因为是非因果系统，
10、所以Z(1/2) n+(1 n u(n)=2 n 3 nu nn(2)已知两个离散因果系统的系统函数分别为:3z3z2z zH1(z)-2； H2(z)z 2z 4z 12z 1 z 2 z 31 z1 、z2分别求出各系统的零极点，绘制零极点图，分析系统的稳定性；求出各系统单位抽样响应。程序为:A=1 2 -4 1B=0 1 1 0z,p,k=tf2zp(B,A)r,p,k=residue (B,A)%求零极点%部分分式展开的系数和极点zpla ne(B,A)零极点为：z =0-1 p =零极图为:稳定性：由上图看出收敛域不包括单位圆，即不是稳定系统 系统抽样响应：由下得r =k =Hi(z
11、)0.49020.66670.1569z 3.3028z 1z 0.3028系统抽样响应为：h(n)=h(n) 0.4902 ( 3.3028)n 0.66670.1569 0.3028 n u(n)程序为：A=1 1 1/2 0B=0 2 -1 1z,p,k=tf2zp(B,A)%求零极点r,p,k=residue (B,A)%部分分式展开的系数和极点p1=abs(p)a1=a ngle(p)/pizplan e(B,A)零极点为：z =+k =2零极图为:rFigu.EC： 1QBE14血并伽 恥 5ua k 殴宜册迴 n 口稳定性：由上图看出收敛域包括单位圆，所以系统稳定 系统抽样响应：由r =+含一对共轭极点，用abs()和angle()函数即可求出共轭极点的模和相位pl =al =即共轭极点为:Pl,23j4，则X(z) 牛 z ejz3e2z，其z反变换为:z 1x(n)2cos2 u(n)及为系统的抽样响应
