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1、第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例A组基础题组1.设向量a=(1,-2),向量b=(-3,4),向量c=(3,2),则(a+2b)c=()A.(-15,12)B.0C.-3D.-112.(2016河南八市重点高中质检)已知平面向量a,b的夹角为,且a(a-b)=8,|a|=2,则|b|等于()A.B.2C.3D.43.已知e1,e2是单位向量,m=e1+2e2,n=5e1-4e2,若mn,则e1与e2的夹角为()A.B.C.D.4.(2016德州模拟)如图,在ABC中,O为BC中点,若AB=1,AC=3,=60,则|=()A.1B.2C.D.55.如图,在等腰三角形ABC中,底边BC=2
2、,=,=,若=-,则=()A.-B.C.-D.6.已知a=(1,2),b=(3,4),若a+kb与a-kb垂直,则实数k=.7.如图所示,在等腰直角三角形AOB中,OA=OB=1,=4,则(-)=.8.已知平面向量m,n的夹角为,且|m|=,|n|=2,在ABC中,=2m+2n,=2m-6n,=,则|=.9.已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120.(1)计算:|a+b|,|4a-2b|;(2)当k为何值时,(a+2b)(ka-b)?10.(2016上海静安一模)如图,已知O为坐标原点,向量=(3cosx,3sinx),=(3cosx,sinx),=(,0),x.(1)求证:(-);(
3、2)若ABC是等腰三角形,求x的值.B组提升题组11.(2016河南商丘二模)已知a、b均为单位向量,且ab=0.若|c-4a|+|c-3b|=5,则|c+a|的取值范围是()A.3,B.3,5C.3,4D.,512.(2016四川成都模拟)已知菱形ABCD边长为2,B=,点P满足=,R,若=-3,则的值为()A.B.-C.D.-13.(2016江苏,13,5分)如图,在ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,=4,=-1,则的值是.14.已知圆O的半径为2,AB是圆O的一条直径,C、D两点都在圆O上(C、D不与A、B重合),且|=2,求|+|.15.已知ABC的三个内角A,B
4、,C的对边分别为a,b,c,向量m=,n=,且m与n的夹角为.(1)求角C;(2)已知c=,SABC=,求a+b的值.答案全解全析A组基础题组1.Ca=(1,-2),b=(-3,4),a+2b=(1,-2)+2(-3,4)=(-5,6).又c=(3,2),(a+2b)c=(-5,6)(3,2)=-53+62=-3,故选C.2.D因为a(a-b)=8,所以aa-ab=8,即|a|2-|a|b|cos=8,所以4+2|b|=8,解得|b|=4.3.B因为mn,|e1|=|e2|=1,所以mn=(e1+2e2)(5e1-4e2)=5+6e1e2-8=-3+6e1e2=0.所以e1e2=.设e1与e2
5、的夹角为,则cos=.因为0,所以=.4.C因为O为BC中点,所以=(+),|2=(+2+)=(12+213cos60+32)=,所以|=.5.A如图,作AFBC于F,ABC是等腰三角形,BF=FC=BC=1.因为=D是AC的中点=(+),所以=-(+)(-)=-=-1=5|=,所以cosABC=,=(-)=(-)=-=2-5=2-=-.6.答案解析已知a=(1,2),b=(3,4),若a+kb与a-kb垂直,则(a+kb)(a-kb)=0,即a2-k2b2=0,即5-25k2=0,即k2=,所以k=.7.答案-解析由已知得|=,|=,则(-)=(+)=+=cos+=-.8.答案2解析因为=,
6、所以点D为BC的中点,所以=(+)=2m-2n,又因为|m|=,|n|=2,平面向量m,n的夹角为,所以|=2|m-n|=2=2=2.9.解析由已知得,ab=48=-16.(1)|a+b|2=a2+2ab+b2=16+2(-16)+64=48,|a+b|=4.|4a-2b|2=16a2-16ab+4b2=1616-16(-16)+464=768,|4a-2b|=16.(2)若(a+2b)(ka-b),则(a+2b)(ka-b)=0,ka2+(2k-1)ab-2b2=0,即16k-16(2k-1)-264=0.解得k=-7.即k=-7时,a+2b与ka-b垂直.10.解析(1)证明:-=(0,2
7、sinx),(-)=0+2sinx0=0,(-).(2)ABC是等腰三角形,则AB=BC,(2sinx)2=(3cosx-)2+sin2x,整理得2cos2x-cosx=0,解得cosx=0或cosx=.x,cosx=,x=.B组提升题组11.Ba、b均为单位向量,且ab=0,设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),代入|c-4a|+|c-3b|=5,得+=5,即(x,y)到A(4,0)和B(0,3)的距离和为5(如图),令c的起点为坐标原点O,则c的终点轨迹是点(4,0)和(0,3)之间的线段,又|c+a|=,表示M(-1,0)到线段AB上点的距离,最小值是点(-1,0)到直线3x
8、+4y-12=0的距离,|c+a|min=3.又最大值为|MA|=5,|c+a|的取值范围是3,5.故选B.12.A解法一:由题意可得=22cos60=2,=(+)(-)=(+)(-)-=(+)(-1)-=(1-)-+(1-)-=(1-)4-2+2(1-)-4=-6=-3,=,故选A.解法二:建立如图所示的平面直角坐标系,则B(2,0),C(1,),D(-1,).设P(x,0),则=(-3,)(x-1,-)=-3x+3-3=-3x=-3,得x=1.=,=.故选A.13.答案解析由已知可得=+=+=-=(-)-(+)=-,=+=+=-=(-)-(+)=-,=+=+=(-)-(+)=-,=+=+=
9、(-)-(+)=-,因为=4,所以=4,则=-+=-(+)=4-(+)=-1,所以+=,从而=-+=-(+)+=-+4=.14.解析如图,连接OC,OD,则=+,=+,因为O是AB的中点,所以+=0,所以+=+,设CD的中点为M,连接OM,则+=+=2,易知COD是边长为2的等边三角形,所以|=,故|+|=|2|=2.15.解析(1)因为向量m=,n=,所以mn=cos2-sin2,|m|=1,|n|=1,又m与n的夹角为,所以cos=cos2-sin2=cosC=,因为0C,所以C=.(2)因为SABC=absinC=absin=ab,所以ab=,所以ab=6,又cosC=,所以=,解得a+b=.
