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1、求函数定义域的主要依据：(1)分式的分母不为零；(2)偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于 1；(5) *三角函数中的正切y = tan x的定义域为 x x丰k兀+ , k e z;(6) 已知函数f (x)的定义域为D,求函数f g (x)的定义域，只需g (x)e D ;(7) 已知函数f g (x)的定义域D,求f (x)的定义域，只需x e iy|y = g(x),即求g(x)的值域。8 ) 已 知 函 数 f g(x)的定义域 D，求 f It(x) 的定义域，只需x e D n g (x)
2、eD1n t(x)e D1(9)已知函数f (x)或f g G)的定义域D,求f(-0.5,1) u (1, +8) 2x2- x -1/(x)与别的函数的复合函数的定义域，按(6)、(7)的方法求f1/(x)的定义域，再与别的函数定义域的交集。(10)已知f Cx)的解析式，求f f (x)的定义域，先求出f (x)的定义域D,让f Cx)e D，求出x的范围。如果f (x)的定义域是x丰D ,则让f CxD求出x丰D，最终x丰D且x丰D。11例：求下列函数的定义域1、2、 y =y = lg( x 2 - 2 x ) x 22 x + 13、5、x2 一 4 x + 3 h,+)log (
3、x 一 1)2已知/ (x)的定义域是0,1，则函数f G - 2x)的定义域是.y = ：log 2 x - 2 4, +8 )4、 y =I0,0.56、7、止的定义域是,x 一 1已知f ( x)的定义域是1 1,1,则f Gog x)是定义域是I2已知y = f (x)的定义域是0,2,则函数g (x)=I0,1)8、已知f (x)=丄，则函数f f (x)的定义域是x + 19、已 知 若 y = f (x)的 定 义 域 是I0,2 ， 则 函 数 f (x+1)+(f2x-)1的 定 义 域 是-1,1c t).5,1.510、已知函数 f (x)=mx 一 1的定义域是R,则实
4、数m的取值范围是mx 2 + 4 mx + 33 )0,一4丿求函数值域的方法图象法；单调性法；对于复合函数从内向外逐层递推； 换元法：设一个式子为t从而将函数化为关于t的一个函数，进而求解；UR的分式; 判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；适合分母为二次且x 分离常数：适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）； 利用式子或变量的有界性求解； 几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数。 例：求下列各式的值域 f (x) = 2 24 + 2 x x 2（直接法）y =1解析】 x2 + 2x + 3 = (x +1)2 + 2 224 + 2
5、x x2(x 1)2 + 25答案】 0 y W0.5 （换兀法）y = - x +：2 x 13x【解析】令2 x 一 1 = u ,(u - 1)2y = _x2 y + 4 y 一 3 x = 0 yx 2 + 3 x 一 4 y = 0答案】 y 0 or y = 09y 一 -163(单调性)y = x (x e 1,3)2x解析】递增函数答案】0.5 Wy 5)x+14y = 3 -x+17y e , 3)3（分子/分母有理化）x + 1 x 1（图象法）y(x 1or 2 x v 2y e (- g,0)u(1一,2I 2（几何意义）y =x 3 + x + 1|【解析】可以看成是数轴上动点P （x）与定点A （3）、B （-1）的距离的差。答案】- 4 |x - 3 - x + 1| 4如果y = f （x）的定义域是（0,1，值域为11,2，则函数f （x + 2）的定义域和值域分别是 2,2111,2 4、构成函数概念的三要素：定义域；对应法则；值域。 两个函数是同一个函数的条件：三要素都相同
