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1、踏花归来马蹄香-2017浙江卷第21题“别解”赏析与思考 李承法（浙江省开化中学324300）手机2017浙江卷第21题与抛物线有关的最(极)值问题，这道题若是不加以思考，直接计算，则是计算量大，容易出错，而若是将思考量增大，则会减少计算，注重将几何问题本质提炼，并与相关知识的联系(如平面几何，向量、函数、方程、不等式等)合理转化，就会有精彩的解答 图12017浙江卷第21题：如图，已知抛物线，点，抛物线上的点，过点作直线的垂线，垂足为（I）求直线斜率的取值范围；（II）求的最大值解：（）设直线AP的斜率为，则=，因为，所以直线AP斜率的取值范围是以下第（）小题由于解法固定且简单，将不再另外求
2、解以下为第（II）小题两种视角-几何视角和代数视角下各种解法探析1几何视角下解法探析图2解法一：设的中点为，则，点在以为直径的圆周上如图1，且连结并延长交圆于，则 ，其中为圆的半径又，故令，则，令得，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减因此，当时，取得最大值所以的最大值为评注：此解法运用了平面几何中圆的相关性质：直径所对的圆周角为直角；圆中相交弦定理等知识，优化思维，简化计算，最后同前面解法一样构造函数，结合导数求出问题的最值图3变式：将条件“过点作直线的垂线，垂足为”改为：“过点作直线与直线相交于点，且”，其它条件不变，求的最大值简解：同前一样分析知，点在的外接圆上，且满足，则，此时的半径
3、，以下解法同前，（略去）解法二：设，当且仅当时等号成立的最大值为评注：此法利用向量的数量积的几何意义的逆用，即恰好等于的模与在方向上的投影的积，即；另外，由此得到了关于的四次函数式后，又运用常见的配方法，解决了高次函数最值问题此解法新颖，思维深刻，几何背景搭台，代数唱戏，实有创新2代数视角下的解析解法三：考虑参数方程设，直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（为参数），点在以为直径的圆上，而以为直径的圆方程为：，将直线的参数方程代入圆的方程得，设，以下利用导数求最大值的过程则同上，故略去评注：此法最为简单，线段长度之积，自然联想参数方程使高考中解答这道题会更简捷利索些解法四：（）联立直线AP与BQ
4、的方程解得点的横坐标是 ，因为由（），所以，=，= =，所以，令，因为，所以在区间上单调递增，上单调递减，因此当=时，|PA|PQ| 取得最大值评注：此解法是充分运用坐标，方程思想，但解法显得繁，计算量大，容易出现差错解法五：设，直线AP的斜率为，则=，设直线的方程为，即，若，此时，；若，直线的斜率，直线的方程为，即，将直线与直线方程联立，解得点的横坐标是 ，接下来可用导数工具来最大值设，则，令得，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减因此，当时，取得最大值所以的最大值为评注：此解法运用坐标思想，利用了直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，是常用方法之一。综上，解析几何问题的本质是把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质，图形问题代数化是解析几何的本质。函数建模能为解答最值试题增添了一抹亮色解析几何的关键在于找到最好的方法解决问题，借助数形结合的思想方法，在平面几何得出的结论就要大胆应用，就能找到简洁的方法解析几何的优点在于数形结合而又动态的处理问题，其解题思路有很强的程序性，但是，盲目操作往往会带来烦琐的讨论或繁杂的计算
