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1、柯西积分公式的应用摘要:阐述了柯西积分公式在解析函数理论中的重要地位,叙述了各种不同表示形式 的柯西积分公式和高阶导数公式,并举例说明了这些公式在积分计算中的应用.关键词:解析函数;复积分;柯西积分公式.1 前言实变函数与泛函分析是综合性大学理工科的基础课程，其中柯西积分定理和柯西 积分公式是基础，是关键，也是19实际最独特的创造，是抽象科学中最和谐的理论之一许 多重要的性质定理由它们直接或者间接推导出来的柯西积分公式是复变函数的基本公式，是解析函数的一种积分表达式，它深刻地反 映了解析函数在解析区域内边界值与内部值的关系柯西积分公式的基本理论和相关性 质已经有了详细而全面的阐述但柯西积分公式
2、仍然存在一些有待解决和完善的方面有 些理论的证明比较复杂，为初学者带来了诸多的不便；柯西积分公式只给出了求解光滑 周线域的复积分方法；已经证明了的理论给出的例题还不够考虑到柯西积分公式是复 变函数积分的基础，对其进行研究具有较强的理论意义和现实意义通过阅读大量的专着，期刊还有网上的资料，本文将对实变函数中的柯西积分公式 和它的几个重要的推论的意义及其性质进行归纳总结，并举出相应的例子，化抽象为具 体；还将对柯西积分公式的使用条件和使用方法进行总结；然后总结归纳参考文献中得 到的结论，并试图将归纳得到的这些结论做进一步的推广；在论文的最后，会选取一些 经典例题做供大家参考！为完成本文我查阅大量的
3、相关资料，力求把课本上的知识运用 到实践中去2 预备知识柯西积分定理设函数f在z平面上的单连通区域D内解析，C为D内任一条周线，则 J f (z) dz = 0 .c推广的柯西积分定理设C是一条周线，D为C之内部，函数f (z)在闭域D二D + C上解析，则J f (z)dz = 0 .c复周线柯西积分定理设D是有复周线C二C + C- + C-+ A+ C-所围成的有界n +1连通区域，函数f在012nD内解析，在D二D + C上连续，贝叮f (z)dz二0 c柯西积分公式设区域D的边界是周线(或复周线)C ,函数f (z)在D内解析，在D二D + C上连续，则有f (z)二丄d： (z e
4、 D).2兀 i c： - z3 柯西积分公式的推论解析函数平均值定理如果函数f (z)在：-z| R内解析，在闭圆：-z| R上连续，则12冗f(z ) =f (z + ReQ旳，o 2o0即f (z)在圆心zo的值等于它在圆周上的值的算术平均数.证：设 C 表示圆周：-z| 二 R，则：z 二 Re0 P 0多么小，总存在5 0，只要|z-S ( z在G内的点)，就有|F (z)-F (a) 0，使得对于r上一切点:，f (E )1 M .设a与r的距离为r .那么对于任意E er及|z a| r ,E z| r -T .于是有(2)得2 |F (z) F (a)| |z a|Mm()m+
5、il，mmr其中/为曲线r的长.|z a|Mm(?) m+1l rr m +1sMm2m+1lr m +1s 15 = mm(，-Mm2m+1 l 2那么，当 |z a| 5，就有 |F F (a) s .mm其次证明F (z)在区域G上解析，且满足F (z) = mF (z)，在G内任取一点a，设mmm +1z e G, z 丰 a，由(1)得Fm( z ) - Fm S ) =J f ( z )(E a )1 dE +A +J f ( z )(E a ) 一dEz a r (E z ) mr E z因为a eT ,所以对于满足不等式1 k m的每个k , f (z)(C -z)-k在r上连
6、续.根据前一部分的证明，上式右边的每个积分都在G上定义了一个变量z的连续函数，因此, 当z Ta时的极限存在，即Fm(a)=(瓷 I 肚 +人 + I- ；)+1 肚=叭+i(a)-对于G内的一切a均成立.下面使用这个引理证明高阶导数公式:证明：由柯西积分公式，对于G内的任意点z，有，F (z) = 士 f )2兀i r (Q z) m记f (z) = F z)根据引理,m! ff (匚)2加r (匚z) m+1dQ 柯西不等式设函数f (z)在区域D内解析，a为D内一点，以a为心作圆周r: Q a|二R，只要r及其内部K均含于D，则有f(n)(a)| nM(R),M(R) = max If
7、(z)|,n = 1,2,A Rnz - a 1= R证：由上面的推导可由柯西积分公式得到高阶导数公式，下面再有高阶导数公式证 明柯西不等式应用上面得到的定理，则有注：柯西不等式是对解析函数各阶导数模的估计式，说明解析函数在解析点 a 的各 阶导数的估计与它的解析区域的大小密切相关刘维尔定理有界整函数f (z)必为常数证：设|f(z)|的上界为M，则在柯西不等式中，对无论什么样的R，均有M (R) M .于是命n = 1时有f(a)| 罟，上式对一切R均成立，让R T+2，即知f(a) = 0，而a是z平面上任一点，故f(z) 在z平面上的导数为零，所以，f (z)必为常数摩勒拉定理若函数f
8、(z)在单连通区域D内连续，且对D内任一周线C，有I f (z)dz = 0，c则f (z)在D内解析.证：在假设条件下，即知在D内解析，且F(z)二f (z)(z g D) 但解析函数F的导函数F(z)还是解析的.即 是说f (z)在D内解析.4奇点在积分路径C上的柯西积分公式我们一般讨论的复积分，要就被积函数在积分路径上有界，并且奇点不在积分路径 上，这类积分可以直接套用柯西积分公式可求，如果积分路径上存在奇点，就不满足条 件了，就不能直接用柯西积分公式了，此时一般用复积分概念，利用极限来求解，但比 较复杂，甚至求不出结果.下面结合Holder条件和奇异积分相关知识，对被积函数分析 变形，
9、针对奇点在积分路径上的复积分得出一种新的求解公式定义1设C是复平面内的简单逐段光滑曲线，z g C，函数f (z)在C-z 上连续， 00在 z 附近无界，在 C 上 z 的两边各取一点 z , z ，若0 0 1 2存在，则称此极限值是f沿C的奇异积分，记为定义2设C是复平面内的简单逐段光滑曲线，z g C，函数f (z)在C-z 上连续， 00在z附近无界，以z为心、充分小的正数为半径做圆周，使它与C的交点恰为z ,z，0 0 1 2若极限lim丄I空Zz存在，则称此极限值是f沿C的柯西主值积分，记为SO2 i C - % z2 z - z0定理1设C施光滑曲线，取正向，若f满足Holde
10、r条件，即(其中K,a都是实常数，z ,z是C上任意两点)则称柯西主值积分存在，且有12证：丄 JSdz 二丄If (z) - f (z0)dz + dI上Jdz2i cz-z02i c-z1,z2 z-z02i c-z1,z2 z-z01Jdz = log(z - z ) - log(z - z )- z- z1020c- z1,z2 z z0=iarg(z - z ) - arg(z - z ) t i兀,( t 0)1 0 2 0(其中log(z - z )为c- z ,z上任意连续分支，I 0 1 2 1乙-zJ 二 lz2 -打=)，arg(z - z ) - arg(z - z )
11、为当z从z沿c - z , z变动到z时z- z的幅角改变量，当 t 01 2 1 010一 z20即z z t z时，它的极限值为兀.1, 2 0又因为f (z)满足Holder条件，即而0 a 1，则积分存在于是，得定理2若C是简单逐段光滑曲线,D是以C为边界的有界单连通区域，f(z)在D内解析，在D-z.上连续(ze C)，在z(的邻域有0f(z)1 |K-,0 a 0为半径作圆，在C上取下一小段弧C，在D内得到0圆弧L，取正向，有柯西积分定理设L的参数方程为z-z =ei9,9 9 9 ,0 1 2K dz =予KdO = K01-a (9 -9 ) t 0,( t 0). a a21
12、定理 391设区域D的边界是周线(或复周线)C，f (z)在D内解析，在D二D + C上连续，且在C上f (z)满足Holder条件，则有此式称为z在边界C上的柯西积分公式.0证：f (z)满足Holder条件，则有那么由定理 1 知：于是由定理3得故有另外，当C是复平面内的简单逐段光滑曲线，z0e C，函数f (z)在C-z0上连续,在z附近无界，以z为心、充分小的正数为半径做圆周，使它与C的交点恰为z ,z，0 0 1 2若极限lim丄j空Idz不一定存在.因此，此时的柯西积分主值不能确定，故此时zno2兀 i c - s z2 z - z01 2 0在边界C上的柯西积分公式也不能确定.c-z1,z2柯西积分公式的方法与技巧柯西积分公式是复积分基本公式，是解析函数的一种积分表达式，它深刻地反映了解析函数在解析区域内边界值与内部值的关系解析函数的高阶导数给我们一个利用导数来求积分的公式，是求沿闭曲线的积分更加简洁而尤其重要的是，高阶导数公式告诉我们：只要函数f (z)在D内处处可导(解析)，则它的各阶导数
