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1、高中学生数学解题常见错误的分析 甘肃省景泰京华中学教研室 李怀忠 730400 在平时的数学教学中，经常会看到学生在解题中犯一些“低级错误”，明明是会做的题目却偏偏做错了，老师要求学生改正，但错误依旧重复昨天的故事，究其错误的原因很多，与学生的认知水平有关，与学生掌握知识的程度有关，与学生心理状态有关。找出学生解题错误的原因，对于提高课堂教学质量与效率具有十分重要的意义。本文就学生在解题中的常见错误作一归纳总结。一、知识结构不完善 主要表现在以下几个方面： （1）概念，性质含糊不清。 学生在接受新概念的过程中，由于认识的偏差，对新概念的条件和结论不能完整把握或对概念的理解支离破碎，以致在解题过
2、程中对概念和性质含糊不清。 例1：在等比数列an中，已知an=，求a2+a4+a2n+ 错解： 根据题意a1=，q=，则数列a2，a4，a6，a2n是首项为，公比为的等比数列，所以a2+a4+a2n+=错因 对数列前n项和的概念与各项和的概念的混淆。正解 a2+a4+a2n+=（2）忽略公式和重要结论存在的条件 例2 设数列an，前n项的和Sn=3n+2n+5，求数列的通项 错解 由an=Sn-Sn-1=23n-1-2n-1即为所求，错因 上述错误原因在于忽略公式“an=Sn-Sn-1”对n2成立。二、思维逻辑不合理从本质上说，逻辑也属于知识范畴，但有时导致错误的盲点是在于逻辑，而不在于教学，
3、其有以下几种表现：潜在假设，所谓潜在假设，就是还没有经过讨论的，就总认为正确的必然的那种想法“偷梁换柱”对参数分类不当非等价变换“循环论证”因果关系不明例3、设椭圆的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点P（0，）到这个椭圆上的点的最远距离为，求这个椭圆的方程错解；如图1，认为点P（0，）到这个椭圆上的点的最远距离是|PB|，可设椭圆方程为：（ab0），则由e= a2=b2+c2 b+= 解得a=2-3 b=-。错因 当然也有学生认为点P（0，）到这个椭圆上的点的最远距离是|PA|或|PC|。上述解法学生均在不适当的潜在假设基础上，必然导致错误。正解 设椭圆上点M（x0，y0）到点P
4、的距离最远，则M（x0，y0）满足（ab0），由a=2b，则|PM|=(-by0b)化简后得：|PM|= （-by0b），然后讨论对称轴y0=-在区间-b，b内、外两种情况得：当y0=-时，|PM|max=，此时b=1，a=2。例4、已知函数f（x2-3）=lg，判断函数f（x）的奇偶性。错解 设t=x2-3，则x2=t+3，所以f（t）=lg，即f（x）=lg。又因为f（-x）=lglg=-f（x），所以f（x）是奇函数。错因 转换不等价，没有考虑求出函数的定义域。正解 因为0 ，所以x26，即t=x2-33。所以f（x）=lg（x3）的定义域不关于原点对称，是非奇非偶的函数。三、心理性错误
5、数学习题的解答，除了依靠学生的知识技能之外，还和本身的心理能力和智力分不开，即使知识技能掌握的不错，也可能因为心理障碍而产生错误，甚至一筹莫展，一些同学对立体几何就存在心理障碍。那么，高中阶段的学生心理表现在以下几个方面；（1）能力的缺失，这里所说的心理能力包括识别能力，记忆能力，信息加工能力，想象能力，由于上述能力的不足，导致学生在解决数学问题时不能准确的确立问题的类型；不能对以前出现过的问题迅速的识别；同时，对于数据较多的习题，表现为顾此失彼。例5、已知集合A=y|y=1-x2，xR，B=y|y=2x2，xR，求AB。错解 根据题意由 y=1-x2 y=2x2 解得x=- x=y= y=
6、所以AB=（- ，），（，）错因 学生由于对问题识别能力的缺失，未弄清集合中元素的特征，本题中两个集合的代表元素是y，是二次函数的值组成的集合，是求两个函数的值域组成集合的交集。正解 =y|y=1-x2，x xR =y|y1，B=y|y=2x2，xR=y|y0所以AB=y|0y1。（2）惰性心理造成的错误 数学概念拓展了，但学生的思维产生了惰性，停留在原有的认知。如高中数学将数的概念拓展到复数后，学生的思维还停留在实数，以致于经常有：z20，|z|2=z2；z12+z22=0z1=0且z2=0；|z1|=|z2|z1=z2；z1-z20z1z2；z13=z23z1=z2等等例6、已知|z|-z
7、=1-i，求z。 错解 由已知|z|-z=1-i，得：|z|=z+1-i，有|z|2=（z+1-i）2，则z2=z2+2（1-i）z+（1-i）2，得z= 错因 上述解法的错误在于学生的思维还停留在实数，误以为|z|2=z2，高中数学这种由惰性心理造成的错误还有：无限运算停留在有限运算，=1，-=0等等；立体几何思维停留在平面几何思维，如在立体几何中学生依然有ac且 bcab等等；解析几何中极坐标（0，1）理解为直角坐标（0，1）等等。（3）局部成就心理造成错误 观察、分析能力较差的学生，在数学解题过程中易产生局部满足感，见木不见林，经常表现为忽视隐含条件而导致错误。例7、在ABC中，已知cosA=，sinB=，求cosC的值。错解 由cosA=，sinB=，知sinA=，cosB=，由cosC=-cos（A+B）代入得：cosC=-或。错因 其实上述解法问题在于当cocB=-，又cosA=，此时A+B，与三角形内角和为矛盾，不可能取cosC=本文发表于2008年中学数学研究第1期
