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1、第 44 课两条直线的位置关系 最新考纲 内容要求ABC直线的平行关系与垂直关系两条直线的交点两点间的距离、点到直线的距离1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1 ，k2，则有 l 1l 2? k1k2.当直线 l1，l2 不重合且斜率都不存在时，l1 l2.(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2 的斜率存在，设为k1 ，k2，则有 l 1l 2? k1k2 1.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0 时， l1l2.2两条直线的交点的求法直线 l 1： A1xB1yC1 0， l2： A2x B2yC2 0(A1，B1， C
2、1，A2，B2， C2 为常数 )，则A1xB1yC10，l 1 与 l 2 的交点坐标就是方程组的解A2xB2yC203距离1 1， y1)， 22， y2)两点之间的距离1 2212212P (xP (x|PP|xxyyd点 P00，y0 到直线： 的距离|Ax0By0C|(xl0dA2B2)Ax By C平行线 Ax ByC10 与 AxBy C20 间的|C1C2|距离dA2B21(思考辨析 )判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)当直线 l1 和 l2 斜率都存在时，一定有 k1k2? l1l2.()(2)如果两条直线 l1 与 l2 垂直，则它们的斜率之积一定等于1
3、.()0 b|(3)点 P(x0，y0)到直线 y kxb 的距离为|kx.()1k2(4)已知直线 l 1：A1 xB1y C1 0，l2：A2xB2yC2 0(A1，B1，C1，A2，B2，C2 为常数 )，若直线 l1l2，则 A1 2 B120.()AB，分别是两条平行线l1，l2 上的任意一点，则 P，Q 两点的最小距离就是两条(5)若点 P Q平行线的距离 ()答案 (1)(2)(3) (4) (5)2(教材改编 )已知点 (a,2)(a0)到直线 l： x y30 的距离为 1，则 a 等于 _21 由题意得|a23|2，1，即 |a 1|2又 a0， a 21.3直线 l ：(
4、a2)x(a 1)y 6 0，则直线 l 恒过定点 _(2， 2) 直线 l 的方程变形为 a(x y)2x y60，由xy0，解得x 2， y 2， 2xy60，所以直线 l 恒过定点 (2， 2)4已知直线 l1：ax(3a)y10， l2：x 2y0.若 l1l2，则实数 a 的值为 _a2 由a3 2，得 a 2.5若直线 l1：xay 6 0 与 l 2：(a2)x3y 2a0 平行，则 l1 与 l2 间的距离为 _8 2由 l1l2，得 a(a2)13，3 a 3 或 a 1.但 a3 时， l 1 与 l 2 重合，舍去，2 a 1，则 l 1： xy60，l 2：xy30.2
5、故 l1 与 l2 间的距离 d638212 1 23.两条直线的平行与垂直(1)设 aR，则“ a 1”是“直线 l1：ax 2y10 与直线 l 2：x(a 1)y 4 0平行”的 _条件 . 【导学号：62172240】(2)过点 (1,3)且垂直于直线 x2y3 0 的直线方程为 _(1)充分不必要(2)2x y 1 0时，显然l1 l2，(1)当 a 1若 l1l2，则 a(a1)210，所以 a1 或 a 2.所以 a1 是直线 l 1 与直线 l2 平行的充分不必要条件1(2)直线 x 2y30 的斜率为 2，从而所求直线的斜率为2.又直线过点 P( 1,3)，所以所求直线的方程
6、为y 3 2(x1)，即 2xy10. 规律方法 1.判定直线间的位置关系，要注意直线方程中字母参数取值的影响，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，还要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y 的系数不能同时为零这一隐含条件2在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论，可避A1B1C1免讨论另外当A2B2C20 时，比例式 A2与B2，C2的关系容易记住，在解答选择、填空题时，有时比较方便 变式训练 1已知过点 A(2，m)和点 B(m,4)的直线为 l1，直线 2xy10 为 l2，直线 xny 1 0 为 l 3.若 l1l 2，l 2l 3，则实数 mn 的值
7、为 _4m 10 l1 l2， kABm 2 2，解得 m 8.1又 l 2l3， n (2) 1，解得 n 2， mn 10.两直线的交点与距离问题(1)直线 l 过点 P(1,2)且到点 A(2,3)和点 B( 4,5)的距离相等，则直线 l 的方程为_(2)过点 P(3,0)作一直线l，使它被两直线l1： 2xy20 和 l2：xy 3 0 所截的线段AB 以 P 为中点，求此直线 l 的方程 . 【导学号： 62172241】(1)x 3y50 或 x 1法一：当直线 l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 y 2 k(x 1)，即 kxyk20.由题意知|2k3k2|4k 5k2|22
8、，k 1k11即 |3k1| |3k 3|， k 3，1直线 l 的方程为 y 2 3(x1)，即 x3y50.当直线 l 的斜率不存在时，直线l 的方程为 x 1，也符合题意1法二：当 AB l 时，有 k kAB 3，直线 l 的方程为1y2 3(x1)，即 x3y50.当 l 过 AB 中点时， AB 的中点为 (1,4)，直线 l 的方程为 x 1.故所求直线 l 的方程为 x3y50 或 x 1.(2)设直线 l 与 l 1 的交点为 A(x0， y0)，则直线 l 与 l2 的交点 B(6x0， y0)，x0110y020，3，由题意知2x解得6x0 y0 3 0，16y03，16
9、11163 0即 A3 ，3 ，从而直线 l 的斜率 k118，3 3直线 l 的方程为 y8(x3)，即 8xy 240. 规律方法 1.求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程；也可利用过交点的直线系方程，再求参数2利用距离公式应注意：点P(x0，y0)到直线 x a 的距离 d|x0a|，到直线 yb 的距离 d |y0b|；两平行线间的距离公式要把两直线方程中x， y 的系数化为相等 变式训练 2若直线 l 过点 A(1， 1)与已知直线 l 1：2xy6 0 相交于 B 点，且 AB5，求直线 l 的方程 解过点 A(1， 1)与 y 轴平
10、行的直线为x1.x1，解方程组求得 B 点坐标为 (1,4)，2x y 6 0，此时 AB5，即直线 l 的方程为 x1.设过点 A(1， 1)且与 y 轴不平行的直线为y1k(x1)，2x y 6 0，解方程组y1k x1 ，k 74k2得 x k 2且 y k2 (k 2，否则 l 与 l1平行 )k 7 4k2则 B 点坐标为 k 2， k2 .又 A(1， 1)，且 AB 5，k74k23所以 k212 k 2 1252，解得 k4.因此3y1 4(x1)，即3x4y10.综上可知，所求直线的方程为x 1 或3x 4y10.对称问题(1)平面直角坐标系中直线y 2x1 关于点 (1,1)对称的直线方程是 _(2)光线从 A( 4， 2)点射出，到直线y x 上的 B 点后被直线 y x
