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1、第八章 多元函数微分法及其应用一、学时分配讲课学时：16学时 习题课学时：2学时 共18学时二、基本内容1多元函数的概念、极限、连续性2偏导数、全微分、复合函数与隐隐约约函数的求导3多元函数微分学的几何应用4方向导数与梯度5多元函数的极值与最值。三、教学要求1理解多元函数的基本概念；2理解多元函数偏导数的概念，熟练掌握多元函数偏导数、全微分的求法；3掌握多元复合函数、隐函数的求导法则；4理解多元函数微分学的几何应用，了解方向导数与梯度；5掌握多元函数极值的求法，并会应用其解决实际问题。四、重点难点1重点：多元函数的偏导数的概念与求法，条件极值2难点：多元复合函数的求导第 一 节 多元函数的基本
2、概念教学目的：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数概念，掌握多元函数的连续性定理，能够判断多元函数的连续性，能够求出连续函数在连续点的极限教学重点：多元函数概念和极限，多元函数的连续性定理教学难点：计算多元函数的极限教学内容：一、 平面点集1 邻域设是平面上的一个点，是某一正数与点距离小于的点的全体，称为点的邻域，记为，即，也就是在几何上，就是平面上以点为中心、为半径的圆内部的点的全体称为点的去心邻域2 区域设是平面上的一个点集，是平面上的一个点如果存在点的某一邻域，则称为的内点显然，的内点属于如果的点都是内点，则称为开集例如，集合中每个点都是的内点，因此为开集如果点的任一邻域内既有
3、属于的点，也有不属于的点（点本身可以属于，也可以不属于），则称为的边界点的边界点的全体称为的边界例如上例中，的边界是圆周和 如果对于任意给定的，的去心邻域内总有的点，则称是的聚点设是点集如果对于内任何两点都可用完全包含在中的折线连结起来，则称点集是连通的连通的开集称为区域或开区域例如，及都是区域开区域连同它的边界一起所构成的点集，称为闭区域，例如及都是闭区域对于平面点集,如果存在某一正数，使得，其中是原点坐标，则称为有界点集，否则称为无界点集例如，是有界闭区域，是无界开区域3维空间元有序实数组的全体构成集合。元素通常也用单个字母表示，称为的第个坐标。在中定义线性运算如下：设，为中的任意两个元素
4、，规定： ，这样定义了线性运算的集合称为维空间。二、多元函数概念在很多自然现象以及实际问题中，经常遇到多个变量之间的依赖关系，举例如下：例1 圆柱体的体积和它的底半径、高之间具有关系 这里，当在集合内取定一对值时，的对应值就随之确定例2 一定量的理想气体的压强、体积和绝对温度之间具有关系 =，其中为常数这里，当、在集合内取定一对值时，的对应值就随之确定定义1 设是平面上的一个点集称映射为定义在上的二元函数，通常记为 ，（或，）其中点集称为该函数的定义域，称为自变量，称为因变量数集称为该函数的值域是的函数也可记为 ， 等等类似地可以定义三元函数以及三元以上的函数一般的，把定义1中的平面点集换成维
5、空间内的点集，则可类似地可以定义元函数元函数也可简记为，这里点当时，元函数就是一元函数当时，元函数就统称为多元函数关于多元函数定义域，与一元函数类似，我们作如下约定：在一般地讨论用算式表达的多元函数时，就以使这个算式有意义的变元的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域例如，函数的定义域为 （图8-1），就是一个无界开区域又如，函数的定义域为（图8-2），这是一个有界闭区域设函数的定义域为对于任意取定的点，对应的函数值为这样，以为横坐标、为纵坐标、为竖坐标在空间就确定一点 当遍取上的一切点时，得到一个空间点集， 图8-1-1 图8-1-2这个点集称为二元函数的图形通常我们也说二元函数的图形是一
6、张曲面三、多元函数的极限定义2 设二元函数的定义域为，是的聚点如果存在常数，对于任意给定的正数，总存在正数，使得当点时，都有 成立，则称常数为函数当时的极限，记作 ， 或 （）为了区别于一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限我们必须注意，所谓二重极限存在，是指以任何方式趋于时，函数都无限接近于因此，如果以某一种特殊方式，例如沿着一条直线或定曲线趋于时，即使函数无限接近于某一确定值，我们还不能由此断定函数的极限存在但是反过来，如果当以不同方式趋于时，函数趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在下面用例子来说明这种情形考察函数显然，当点沿轴趋于点时，；又当点沿轴趋于点时， 虽然点以
7、上述两种特殊方式(沿轴或沿轴)趋于原点时函数的极限存在并且相等,但是并不存在这是因为当点沿着直线趋于点时,有 ，显然它是随着的值的不同而改变的例3 求 解 这里的定义域为，为的聚点由极限运算法则得四、多元函数的连续性定义3 设函数在开区域（闭区域）内有定义，是聚点，且如果,则称函数在点连续如果函数在开区域（或闭区域）内的每一点连续，那么就称函数在内连续，或者称是内的连续函数若函数在点不连续，则称为函数的间断点这里顺便指出：如果在开区域（或闭区域）内某些孤立点，或者沿D内某些曲线，函数没有定义，但在内其余部分都有定义，那么这些孤立点或这些曲线上的点，都是函数的不连续点，即间断点前面已经讨论过的函
8、数当时的极限不存在，所以点是该函数的一个间断点二元函数的间断点可以形成一条曲线，例如函数在圆周上没有定义，所以该圆周上各点都是间断点一元函数中关于极限的运算法则，对于多元函数仍然适用即多元连续函数的和、差、积仍为连续函数；连续函数的商在分母不为零处仍连续；多元连续函数的复合函数也是连续函数由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的，能用一个式子表示出来的多元函数，称为多元初等函数多元初等函数在其定义区域上都是连续的例4 求解 函数 是初等函数，它的定义域为因不是连通的，故不是区域但是区域，且 ，所以是函数的一个定义区域因, 故如果这里不引进区域，也可用下述方
9、法判定函数在点 处是连续的：因是的定义域的内点，故存在的某一邻域，而任何邻域都是区域，所以是的一个定义区域，又由于是初等函数，因此在点处连续一般地，求，如果是初等函数，且是的定义域的内点，则 在点处连续，于是例5 求解 =与闭区域上一元连续函数的性质相类似，在有界闭区域上多元连续函数也有如下性质性质1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域 上的多元连续函数，在上一定有最大值和最小值这就是说，在上至少有一点及一点，使得为最大值而为最小值，即对于一切PD, 有性质2（介值定理） 在有界闭区域上的多元连续函数，必取得介于最大值和最小值之间的任何值一切多元初等函数在其定义区域内是连续的所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域由多元初等函数的连续性，如果要求它在点处的极限，而该点又在此函数的定义区域内，则极限值就是函数在该点的函数值，即小结与思考：本节在一元函数的基础上，讨论多元函数的基本概念讨论中我们以二元函数为主，针对二元函数的极限及连续予以重点介绍从二元函数到二元以上的多元函数则可以类推设集合，问是否为区域？作业：作业卡 P7-8
