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1、1 从客观上分析对称因素和对称操作2 分析各种对称操作如何用函数表示，继而用矩阵表示出来2.1 恒等操作对向量不产生任何影响 ,对应于单位矩阵2.2 旋转操作n 旋转轴可衍生出 n-1 个旋转操作,记为2.3 平面反映共有3 种反映操作 ,即v, h ,2.4 象转操作系符合操作，由绕主轴的旋转和b h组合而成，即 : SniCnj hhCnj2.5 反演使各分量都改变符号 , 即2.6 C2 其旋转垂直于主轴，设旋转轴的极角为。，则：3 分析这些对称操作和对称表示是否符合群的定义，若是，分析其性质。3.1 群的定义与性质3.2 计算群的阶3.3 分析子群3.4 分析是否是交换群3.5 分析是
2、否是有限群还是无限群3.6 分析其他4 列出群的乘法表，分析共轭类4.1 列出表4.2 分析共轭元素和共轭类5 以此类推，总结出所有的分子的对称性5.1 点群分类下面的分类采用 Schonflies 符号 .5.2 对于上面的分子点群分类，可以归为四类5.3 分子点群的判别6 群的表示6.1 群表示的定义6.2 可约表示和不可约表示6.3 特征标和不可约表示的性质7 对称性分子轨道1 从客观上分析对称因素和对称操作恒等元及恒等操作分划用 人表八Equation旋转轴和旋转操作/、口用A 表一 Circle对称面与反映操作A?分别用（T、（T表水。对称中心及反演操作Ainversion分别用i及
3、i表示。旋映轴和旋转反映操作可用Sn及Sn表示。spin2 分析各种对称操作如何用函数表示， 继而用矩阵表示出来2.1 恒等操作对向量不产生任何影响,对应于单位矩阵x x 100xyIy01 0yz z010z2.2 旋转操作n 旋转轴可衍生出 n-1 个旋转操作,记为C：(k 1,2, n 1)kM应旋车专角度 k (360 /n)存在关系 :C i C j C jCiCi jCn Inn nn n,n满足可交换性与循环(周期 )性将 z 轴选定为旋转轴 , 向量的 z 分量不受影响.考虑 (x,y) 变化绕主轴旋转操作示意图向量(x,y)的极角a向量 (x ,y ) 的极角对于氨分子，n=
4、3,旋转角为120。1/23/20C3C3(120).3/21/200011/2.3/2 0C； C3(240)3/21/2 0x r cosyr sinxr cos()xcosysinyr sin()xsiny cosxxcossin0xyC()ysincos0yzz001z2.3 平面反映共有3种反映操作，即v, h, d当主轴为z轴时，（TV不改变向量的z分量.设反映面的极角为。，对于二维向量作用后各相关 的极角如图所示.变换关系：x rcos(2) xcos(2 ) ysin(2 )y rsin(2) xsin(2 ) ycos(2 )相应的矩阵表示：x x cos 2 sin 20
5、xy v y sin 2 cos2 0 y z z 001 z应用于氨分子，设v与yz平面重合，则极角9 a=冗/2,的极角分别30为和150 ,相应的矩阵表示依次为：1 0 01/2,3/2 01/2,3/2 0010,3/21/20,.3/21/200 0 1001001垂直于主轴o- h的反映面操作，使z改变符号,而x,y分量不变x x 1 00 xy h y 0 10 yz z 0 01 z对于(7 d的反映面操作，因其也包含主轴，矩阵表示的一般形式同于，而具体形式 取决于它的极角.2.4 象转操作 系符合操作，由绕主轴的旋转和uh组合而成，即：S；Cnj h hCnj相应的矩阵表示为
6、： x x cos(j 2 / n) sin( j 2 / n) 0 xySnj y sin( j 2 / n) cos(j 2 /n)0 yz z001 z2.5 反演使各分量都改变符号，即x x 1 y i y 0z z 0iC2 h S22.6 C2其旋转垂直于主轴，设旋转轴的极角为8,则:xxcos2sin 20x yC2 ysin2cos20y zz001z该操作也可看成极角为8的v映面操作与对称操作h的乘积：C2 = h （TV （ 8 ）除了上面的6类对称操作外，还有其它一些操作，如旋转轴不为主轴的C3旋转操作，不包含主轴的6映面操作等。 相应的表示矩阵要复杂些，但都可以表示成
7、几个简单操作的乘积。3 分析这些对称操作和对称表示是否符合群的定义，若是，分析其性质。3.1 群的定义与性质由有限个或无限个元素组成的一个集合G， 若满足下列 4 个性质 （封闭、 结合、 含幺、 可逆） ，则称 G 为群。3.2 计算群的阶NH3 分子，属 C3v 群，由六个元素构成12C3V : I ,C3 ,C3 , a , b , c （后面再补充为何是c3v 群）3.3 分析子群包含一个 3 阶子群：I,C31,C323 个 2 阶子群：I, a,I, b,I, c3.4 分析 是否是交换群3.5 分析是否是有限群还是无限群3.6 分析其他恒等元素 I 总是单独地构成一个1 阶子群；
8、群的阶数总能被其子群的阶数整除；群 G 本身也可以认为是G 的子群。4 列出群的乘法表 ，分析共轭类4.4 列出表群元素的乘积可排列成一个方格表，称为群的乘法表.每一行都是另一行的重排，每乘法表一例：G6EAEEAAAEBBFCCDDDCFFB一列也是如此，此即重排定理.BCDFBCDFDFBCEDCAFEABABFECAED4.5 分析共轭元素和共轭类3 共轭类 共轲元素若存在群元素R（R丰I）使群元素A与B满足关系：R-1AR=B 或 A=RBR-1则称B是A借助于X所得到的相似变换，A与B共轲.并称A与B属于同一共轲类，简称共轲元素 .,或简称类 . 共轭类 在一个群中 , 相互共轭的元
9、素的一个完整集合称为一个共轭类1221aC3 a C3 , aC3 a C311 a b a c, c b c a221C32 b (C32 ) 1, C3v 群中的 6 个元素可划分成三类划分方法 对于群中一个元素A, 做 R-1AR, 当遍及群中所有元素时,即可得出与A 同为一类的所有元素.C3, C32I例如，根据NH3的C3v群之乘法表，可以得到。5以此类推，总结由所有的分子的对称性对于分子而言，它的各个对称操作构成一个群，由于这些对称操作至少保持分子的一点不动 因此称为点群5.1 点群分类下面的分类采用Schonflies符号.序号点群对称特点群兀素阶1Cn1个n重对称轴n例2Cnh
10、1个n重对称轴及1个垂 直此轴的对称面（T h2n 例序号点群对称特点群兀素阶3Cnv1个n重对称轴及1个通 过此轴的对称面（T v2n 例4Dn1个n重对称轴（主轴）n个 垂直此轴的一重轴2n 例5Dnh在Dn的基础上加1个垂 直Cn轴的对称面d h4n 例序号点群对称特点群兀素阶6Dnd在Dn的基础上加1个垂 直Cn轴且垂直于两个C2 轴夹角的镜面b d4n 例7S2n1个偶数重数的象转轴2n 例8T4个C3轴,3个C2轴12 例Th在T群的基础上加入垂直于C2的b h24 例Td在T群的基础上加入通过 于C2轴且平分两个C2的（T d,24 例9O3个相互垂直的 C4, 4个C3轴24例
11、Oh在O群的基础上加入垂直于C4的b h48例10I6 个 C5,60例Ih6个C5120 例含有多高次轴的对称元素组合所得的对称元素系与正多面体的对称性相对应.群有T群,0群及I群等.5.2 对于上面的分子点群分类，可以归为四类（1）单轴群 包才Cn、Cnh、Cnv（共同特点是旋转轴只有一条）（2）双面群 包才Dn、Dnh、Dnd （共同特点是旋转轴除了主轴Cn外，还有与之垂直的n条C2副轴.）（3）立方群 包才Td、Th、Oh、Ih （共同特点是有多条高次（大于二次）旋转轴相交）（4）非真旋 包才Cs、Ci、S4等.（共同特点是只有虚轴（不计包含在Sn中的Cn/2.此外，i= 轴群S2 ,
12、 d = S1）.对于分子而言，它的各个对称操作构成一个群，由于这些对称操作至少保持分子的一点不动，因此称为点群5.3 分子点群的判别线形分子:有多条高阶轴分子（正四面体.正八面体）只有镜面或对称中心,或无对称性的分子:无 G 副轴;G轴（但不是 的简单结果）有小条G副轴垂直于主轴;DD血Q浪线形分子：C v,D h有多条高阶轴分子（正四面体、正八面体 ）Td,Th,Oh,Ih.只有镜面或对称中心，或无对称性的分子：只有S2n（n为正整数）分子：Cn轴（但不是S2n的简单结果）无C2副轴：Ci,Ci,CS4,.Cn,CnhCnv有n条C2副轴垂直于主轴Dn,Dnh,Dnd6群的表示6.1 群表
13、示的定义对称操作作用于一个向量，衍生了相应的矩阵表示。若这种作用遍及点群的每一 元素，其结果是每一对称操作对应一矩阵， 当这些矩阵满足群的条件时，称它们 为群的表示，而被作用的向量称为该表示的基。例如前面以向量(x,y,z)为基，C3v的全部对称操作所对应的矩阵构成一个三维 表示，满足点群C3v的乘法表.1c3C；abc10 02 号00 10 r2 o0 0 10014T30 10-2340010010 0每一个群均存在一个一维包等表示, 量的函数.如C3v:01q02零00零30手W01001001基是标量函数f(r),有时也可以是含主轴变A(z)=(z),A= I , C3, C32, a, b, c以绕主轴的右手螺旋函数Rz为基，实操作使Rz不变，虚操作使Rz改变符号,即ARz)(Rz), A I ,C1,C2ARz)(Rz),a, b, c右手螺旋Rz的变换性质量包等表示的各类元素(相当于一个一维矩阵)包等于1;而以Rz为基的一维表示, 一半为+1,另一半为-1.一个群的表示依赖于坐标的选择.群论中把产生一个表示的坐标或函数集合称 为群的表示的基.空间坐标、坐标的函数及其集合都可以作为群的表示的基，在量子
