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1、第二节 剩余类与完全剩余系第三节 缩系教学目的：1、掌握剩余类与完全剩余系的定义与基本性质；2、掌握缩系的定义与基本性质；3、证明及应用Wilson定理；4、证明及应用Fermat小定理、Euler定理的证明及应用；5、掌握Euler函数计算方法及其基本性质.教学重点：1、剩余类与完全剩余系的基本性质；2、证明及应用Wilson定理；3、证明及应用Fermat小定理；4、掌握Euler函数计算方法及其基本性质.教学过程一、剩余类与完全剩余系由上一节我们知道，同余关系满足自反性、对称性、传递性，即对于整数集来说，同余是一个等价关系. 这样，可以按同余关系将所有的整数分类.1、定义1 给定正整数m
2、，对于每个整数i，0 i m - 1，称集合 Ki(m) = n；n i (mod m)，nZ 是模m的一个剩余类.显然，每个整数必定属于且仅属于某一个Ki(m)（0 i m - 1），而且，属于同一剩余类的任何两个整数对模m是同余的，不同剩余类中的任何两个整数对模m是不同余的.例如，模 5的五个剩余类是K0(5) = L , -10, -5, 0 , 5, 10, L ，K1(5) = L , -9 , -4 , 1 , 6 , 11, L ，K2(5) = L , -8 , -3 , 2 , 7 , 12, L ，K3(5) = L , -7 , -2 , 3 , 8 , 13, L ，K
3、4(5) = L , -6 , -1 , 4 , 9 , 14, L .2、定义2 设m是正整数，从模m的每一个剩余类中任取一个数xi（0 i m - 1），称集合x0, x1, L,xm - 1是模m的一个完全剩余系（或简称为完全系）.由于xi的选取是任意的，所以模m的完全剩余系有无穷多个，通常称() 0, 1, 2, L, m - 1是模m的最小非负完全剩余系；() 或是模m的绝对最小完全剩余系.例如，集合0, 6, 7, 13, 24是模5的一个完全剩余系，集合0, 1, 2, 3, 4是模5的最小非负完全剩余系.3、定理1 整数集合A是模m的完全剩余系的充要条件是() A中含有m个整数
4、；() A中任何两个整数对模m不同余.4、定理2 设m 1，a，b是整数，(a, m) = 1，x1, x2, L, xm是模m的一个完全剩余系，则ax1 + b, ax2 + b, L, axm + b也是模m的一个完全剩余系.证明：由定理1，只需证明：若xi xj，则axi + baxj + b (mod m). (1)事实上，若 axi + b axj + b (mod m)，则 axi axj (mod m)，由此得到 xi xj (mod m)，因此xi = xj. 所以式(1)必定成立. 证毕 5、定理3 设m1, m2，AZ，(A, m1) = 1，又设，分别是模m1与模m2的完
5、全剩余系，则 R = Ax + m1y；xX，yY 是模m1m2的一个完全剩余系.证明：由定理1只需证明：若x , x X，y , y Y，并且Ax + m1y Ax + m1y (mod m1m2)， (2)则 x = x ，y = y .事实上，由第一节定理5及式(2)，有 Ax Ax (mod m1) x x (mod m1) x = x ，再由式(2)，又推出 m1y m1y (mod m2) y y (mod m2) y = y .推论 若m1, m2N，(m1, m2) = 1，则当x1与x2分别通过模m1与模m2的完全剩余系时，m2x1 + m1x2通过模m1m2的完全剩余系.6
6、、定理4 设mi（1 i n），则当xi通过模mi（1 i n）的完全剩余系时，x = x1 + m1x2 + m1m2x3 + L + m1m2Lmn - 1xn通过模m1m2Lmn的完全剩余系.证明：对n施行归纳法.当n = 2时，由定理3知定理结论成立.假设定理结论当n = k时成立，即当xi（2 i k + 1）分别通过模mi的完全剩余系时，y = x2 + m2x3 + m2m3x4 + L + m2Lmkxk + 1通过模m2m3Lmk + 1的完全剩余系. 由定理3，当x1通过模m1的完全剩余系，xi（2 i k + 1）通过模mi的完全剩余系时，x1 + m1y = x1 +
7、m1(x2 + m2x3 + L + m2Lmkxk + 1)= x1 + m1x2 + m1m2x3 + L + m1m2Lmkxk + 1通过模m1m2Lmk + 1的完全剩余系. 即定理结论对于n = k + 1也成立.7、定理5 设mi，AiZ（1 i n），并且满足下面的条件：() (mi, mj) = 1，1 i, j n，i j；() (Ai, mi) = 1，1 i n；() miAj ，1 i, j n，i j .则当xi（1 i n）通过模mi的完全剩余系Xi时，y = A1x1 + A2x2 + L + Anxn通过模m1m2Lmn的完全剩余系.证明：由定理1只需证明：若
8、xi, xiXi，1 i n，则由A1x1 + A2x2 + L + Anxn A1x1 + A2x2 + L + Anxn (mod m1Lmn) (3)可以得到xi = xi，1 i n.事实上，由条件()及式(3)易得，对于任意的i，1 i n，有 Aixi Aixi (mod mi).由此并利用条件()和第一节定理5推得 xi xi (mod mi)，因此xi = xi.例1 设A = x1, x2, L, xm是模m的一个完全剩余系，以x表示x的小数部分，证明：若(a, m) = 1，则. 解：当x通过模m的完全剩余系时，ax + b也通过模m的完全剩余系，因此对于任意的i（1 i
9、m），axi + b一定与且只与某个整数j（1 j m）同余，即存在整数k，使得axi + b = km + j，（1 j m）从而.例2 设p 5是素数，a 2, 3, L, p - 2 ，则在数列 a，2a，3a，L，(p - 1)a，pa (4)中有且仅有一个数b，满足 b 1 (mod p). (5)此外，若b = ka，则k a，k2, 3, L, p - 2.解：因为(a, p) = 1，所以由定理2，式(4)中的数构成模p的一个完全剩余系，因此必有数b满足式(5).设b = ka，那么() k a，否则，b = a2 1 (mod p)，即p(a + 1)(a - 1)，因此pa
10、 - 1或pa + 1，这与2 a p - 2矛盾；() k 1，否则，b = 1a 1 (mod p)，这与2 a p - 2矛盾；() k -1，否则，b = -a 1 (mod p)，这与2 a p - 2矛盾.若又有k ，2 k p - 2，使得b k a (mod p)，则 k a ka (mod p).因(a, p) = 1，所以k k (mod p)，从而pk - k ，这是不可能的. 这证明了唯一性.8、定理6 (Wilson定理) 设p是素数，则(p - 1)! -1 (mod p).证：不妨设p5. 由例2容易推出对于2, 3, L, p - 2，中的每个整数a，都存在唯一
11、的整数k，2 k p - 2，使得 ka 1 (mod p). (6)因此，整数2, 3, L, p - 2可以两两配对使得式(6)成立. 所以23L(p - 2) 1 (mod p)，从而 123L(p - 2)(p - 1) p - 1 -1 (mod p).例3 设m 0是偶数，a1, a2, L, am与b1, b2, L, bm都是模m的完全剩余系，证明：a1 + b1, a2 + b2, L, am + bm不是模m的完全剩余系.解：因为1, 2, L, m与a1, a2, L, am都是模m的完全剩余系，所以(mod m). (7)同理 (mod m). (8)如果a1 + b1
12、, a2 + b2, L, am + bm是模m的完全剩余系，那么也有(mod m).联合上式与式(7)和式(8)，得到0(mod m)，这是不可能的，所以a1 + b1, a2 + b2, L, am + bm不能是模m的完全剩余系.二、缩系在模m的完全剩余系中，与m互素的整数所成的集合有一些特殊的性质，我们下面对它们做些研究.1、定义1 设R是模m的一个剩余类，若有aR，使得(a, m) = 1，则称R是模m的一个简化剩余类.显然，若R是模的简化剩余类，则R中的每个整数都与m互素.例如，模4的简化剩余类有两个：R1(4) = L, -7 , -3, 1 , 5 , 9 , L ，R3(4)
13、 = L, -5 , -1 , 3 , 7 , 11 , L .2、定义2 对于正整数k，令函数j(k)的值等于模k的所有简化剩余类的个数，称j(k)为Euler函数，或Eulerj函数.例如，容易验证j(2) = 1，j(3) = 2，j(4) = 2，j(7) = 6.显然，j(m)就是在m的一个完全剩余系中与m互素的整数的个数.3、定义3 对于正整数m，从模m的每个简化剩余类中各取一个数xi，构成一个集合x1, x2, L,xj(m)，称为模m的一个简化剩余系（或简称为简化系或缩系）.显然，由于选取方式的任意性，模m的简化剩余系有无穷多个.例如，集合9, -5, -3, -1是模8的简化剩余系，集合1, 3, 5, 7也是模8的简化剩余系，通常称最小非负简化剩余系.4、定理1 整数集合A是模m的简化剩余系的充要条件是() A中含有j(m)个整数；() A中的任何两个整数对模m不同余；() A中的每个整数都与m互素.5、定理2 设a是整数，(a, m) = 1，B = x1, x2, L, xj(m)是模m的简化剩余系，则集合A
