《24等腰三角形性质及判定提高知识讲解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《24等腰三角形性质及判定提高知识讲解（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、等腰三角形性质及判定（提高）【学习目标】1,掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直.2.掌握等腰三角形的判定定理.3,熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算.【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角如图所示，在 ABC中，AB= AC,则它叫等腰三角形，其中AR AC为腰，BC为底边,/ A是顶角，/ B、/C是底角.要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45。.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角
2、可为钝角（或直角）.18n a/ A= 180 2/ B, / B= / C= 18nA .2要点二、等腰三角形的性质1 .等腰三角形的性质性质1:等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角）.性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线 合一”）.2 .等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等 ,是证明角相等的一个重要依据.性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等.3 .等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高 （顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴， 通常情况只有一条对称轴.要点三、等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，
3、那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.【典型例题】类型一、等腰三角形中的分类讨论C1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30。，则顶角的度数为().A .60 B , 120 C . 60 或 150D . 60 或 120【答案】D;【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知，等腰三角形的顶角可以是锐角、 直角、钝角，然而题目没说是什么三角形，所以分类讨论，画出图形再作答.(1)顶角为锐角如图，按题意顶角的度数为60。
4、；(2) 顶角为直角，一腰上的高是另一腰，夹角为 0。不符合题意；(3) 顶角为钝角如图，则顶角度数为 120 ,故此题应选 D.【总结升华】这是等腰三角形按顶角分类问题，对于等腰三角形按顶角分：等腰锐角三角形、 等腰直角三角形和等腰钝角三角形，故解此题按分类画出相应的图形再作答举一反三：【变式】(2015泡州校级二模)等腰三角形有一个外角是100。，这个等腰三角形的底角是.【答案】50或80 .解：若100。的外角是此等腰三角形的顶角的邻角，则此顶角为：180 -100 =80 , 则其底角为：(1800 -80 ) +2=50 ;若100。的外角是此等腰三角形的底角的邻角，则此底角为：18
5、0 -100 =80 ;故这个等腰三角形的底角为：50或 80 .故答案为：50或80 .类型二、等腰三角形的操作题C2、根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把 ABC 恰好分割成两 个等腰三角形(不写做法，但需保留作图痕迹，在图中标注分割后的角度)；并根据每种情况分别猜想：ZA 与/B有怎样的数量关系时才能完成以上作图？图图(1)如图 ABC 中，Z C= 90 , /A= 24 ;猜想：(2)如图 ABC 中，Z C= 84 , /A= 24 ;猜想：【思路点拨】 在等腰三角形中，“等边对等角”与“等角对等边”，本题应从角度入手进行考 虑.【答案与解析】(1)作图：猜想：/
6、 A+ / B= 90 , (2)作图：猜想：/ B= 3ZA.【总结升华】对图形进行分割是近年来出现的一类新题型，主要考查对基础知识的掌握情况以及动手实践能力，本类题目的答案有时不唯一 举一反三:【变式】直角三角形纸片 ABC中，Z ACB= 90 , ACC BG如图，将纸片沿某条直线折叠， 使点A落在直角边BC上，记落点为 D,设折痕与AB AC边分别交于点E、F, 探究：如果折叠后的 CDF与4BDE均为等腰三角形，那么纸片中的/B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形.【答案】解：若 CDF是等腰三角形，则一定是等腰直角三角形.设/ B为 X度/ 1= 45 ,
7、 / 2=/ A= 90 X当BD= BE时C180 x/sf/ W45 +90 x + 18一x= 180 , 2x = 30 .经计算EA EB不成立.当DgDB时Z3= 180 2x45 +90 x + 180 2x = 180 ,x = 45 .综上所述，/ B=30或45 .类型三、等腰三角形性质判定综合应用ABC 中，/ C=2/A, BD 平分/ ABC 交 AC 于0 ,人 3、（2015秋？东西湖区期中）如图，D,求证：AB=CD +BC .（用两种方法）【思路点拨】方法一：先在 AB 上取 BE=BC ,根据 SAS 证出 CBDEBD ,得出 CD=ED，/ C= / B
8、ED ,再证明/ A=/ADE,得出AE=DE=CD ,最后根据AB=BE+AE ,即可得出答案；方法二：先延长BC至F,使CF=CD ,得出/ F=Z CDF,再利用 AAS证出 ABDFBD ,得出AB=BF ,最后根据BF=BC+CF=BC+CD,即可得出答案.【答案与解析】 解；方法一：在 AB上取BE=BC , BD 平分/ ABC 交 AC 于 D, ./ CBD= / EBD ,在 CBD 和 EBD 中，BE=BC/CBD=/EBD, BD=BECBDA EBD (SAS), .CD=ED , ZC=Z BED , . / C=2 Z A , ./ BED=2 / A, . /
9、 BED= ZA+Z ADE , / A= / ADE , .AE=DE , .AE=CD , .AB=BE +AE, .AB=CD +BC;方法二：延长 BC至F,使CF=CD , 则/ F=Z CDF, . / ACB= / F+ZCDF, ./ ACB=2 / F, ./ ACB=2 / A,. A=/ F,在 ABD和 FBD中，/ABX/FBD/花/FBD=BEABDA FBD (AAS ),.AB=BF , .BF=BC +CF,.BF=BC +CD,.AB=BC +CD.【总结升华】此题考查了等腰三角形的判定与性质，用到的知识点是三角形的外角、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的
10、判定与性质，关键是作出辅助线，构造全等三角形.【变式】如图，已知 AD是2 BC的中线，BE交AC于E,交AD于F,且AE= EF.求证：AC= BF.证明：延长 AD至点G 使DG= AD,连接BG.AD为中线,BD CD.在 ACD和4GBD中，AD DG, ADC GDB, CD BD,GACD AGBD(SAS).BG AC, G CAD.AE EF , CAD AFE. 又 BFD AFE,G BFD. BF BG AC.4、如图，AC= BC, / ACB= 90 , / A的平分线AD交BC于点D,过点B作B已AD于 点 E.求证：BE= -1 AD.2【答案与解析】证明：如图，
11、延长 BE AC交于点F. /1 = /2, AE= AE, /AEB= / AEF= 90 ,.AEB AEF (ASA).1BE= FE= BF.2 /3= 90 /F=/2, BC= AC,Rt BCF RMACD(ASA)1BF= AD, BE= - AD.2【总结升华】在几何解题的过程中，当遇到角分线或线段垂线时常考虑使用翻折变换，可保留原有图形的性质，且使原来分散的条件相对集中，以利于问题的解决.【变式】已知，如图，AD为 ABC的内角平分线，且 AD= AB, CMLAD于M.1_ 一求证：AM= -(AB + AC).2【答案】证明：延长 AM至点E,使ME= AM连接CE.AC.AM ME,CM AE, . AC CE. . E CAM.AD 平分 BAC, CAM BAM. . EBAM. .AB/ CE. . BBCE. AB AD, B ADB.又 CDE ADB, CDE BCE.DE CE. 2 AM AE AD DE AB1 八 AM AB AC2
