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1、初中竞赛重要数学公式归纳总结初中数学竞赛圆的方程公式1、圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2。2、圆的一般方程：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可变形为(x+D/2)2+(y+E/2)2=(D2+E2-4F)/4.故有：(1)、当D2+E2-4F0时，方程表示以(-D/2,-E/2)为圆心，以(D2+E2-4F)/2为半径的圆;(2)、当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点(-D/2，-E/2(3)、当D2+E2-4F<0时，方程不表示任何图形。3、圆的参数方程：以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的参
2、数方程是 x=a+r_cos, y=b+r_sin, (其中为参数)圆的端点式：假设两点A(a1,b1),B(a2,b2)，那么以线段AB为直径的圆的方程为 (x-a1)(x-a2)+(y-b1)(y-b2)=0圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。经过圆 x2+y2=r2上一点M(a0，b0)的切线方程为 a0_x+b0_y=r2在圆(x2+y2=r2)外一点M(a0，b0)引该圆的两条切线，且两切点为A,B，那么A,B两点所在直线的方程也为 a0_x+b0_y=r2初中数学竞赛重要定理公式代数篇【乘法公式】完全平方公式：(ab)2=a22ab+b2，平方差公式：(a+b)(a-
3、b)=a2-b2，立方和(差)公式：(ab)(a2 ?ab+b2)=a3b3多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd二项式定理：(ab)3=a33a2b+3ab2b3(ab)4=a44a_+6a2b24ab3+b4)(ab)5=a55a4b+10a_210a2b3+5ab4b5)在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n-1- a2n-2b+a2n-_2- +ab2n-2- b2n-1)=a2n-b2n(a+b)(a2n-a2n-1b+a2n-2b2n-ab2n-1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地
4、：(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-_2+ab n-2+b n-1)=a n-b n公式的变形及其逆运算由(a+b)2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2-2ab由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b) 由公式的推广可知：当n为正整数时a n-b n能被a-b 整除，a2n+1+b2n+1能被a+b整除，a2n-b2n能被a+b 及a-b整除。重要公式(欧拉公式)(a+b+c)(a2+b2+c2+ab+ac+bc)=a3+b3+c3-3abc【综合除法】一个一元多项式除以另一个一元多项式，并
5、不是总能整除。当被除式f(x)除以除式g(x)，(g(x)0) 得商式q(x)及余式r(x)时，就有以下等式：f(x)=g(x)q(x)-r(x)其中r(x)的次数小于g(x)的次数，或者r(x)=0。当r(x)=0时，就是f(x)能被g(x)整除。【余式定理】多项式f(x)除以x-a所得的余数等于f(a)。【因式分解方法】拆项、添项、配方、待定系数法、求根法、对称式和轮换对称式等。【局部分式】把一个分式写成几个简单分式的代数和，称为将分式化为局部分式，它是分式运算的常用技巧。分式运算的技巧还有：换元法、整体法、逐项求和、拆项求和等。【素数和合数】2是最小的素数，也是唯一的一个既是偶数又是素数
6、的数.小于100的素数有如下25个：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97.性质1 一个大于1的正整数n，它的大于1的最小因数一定是质数.性质2 假设n是合数，那么n的最小质因数一定满足a2n.性质 3 质数有无穷多个.性质4(算术根本定理)每一个大于 1 的自然数n，必能写成以下形式：这里的P1，P2，P r是质数，a1，a2，a r是自然数.假设不考虑P1，P2，P r的次序，那么这种形式是唯一的.性质 5 任何大于3的素数都可以表示为6k1【不定方程】定理1.二元一次不定方程a x+by
7、=c，(1)假设其中(a，b)c，那么原方程无整数解;(2)假设(a，b)=1，那么原方程有整数解;(3)假设(a，b)|c，那么可以在方程两边同时除以(a，b)从而使原方程的一次项系数互质，从而转化为(2)的情形.定理2：利用分解法求不定方程ax+by=cxy(abc0)整数解的根本思路：将ax+by=cxy转化为(x-a)(cy-b)=ab可分解.【高斯函数】设xR，用x或int(x)表示不超过x的最大整数，并用表示x的非负纯小数，那么y=x称为高斯(Guass)函数，也叫取整函数。任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和，即：x=x+(0x<1)性质1:xx<x+1，x-1&
8、lt;x xn+x=n+x，n为整数2:厄尔米特恒等式：对任x大于0，恒有x+x+1/n+x+2/n+ +x+(n-1)/n=nx。【同余】定义 1 给定正整数m，假设用m去除两个正整数a和b所得的余数一样，那么称a与b对于模m同余，或称a与b同余，模m，记为ab(mod m)，此时也称b是a对模m的同余。否那么称a与b对于模m不同余，或称a与b不同余，模m，记为a?b (mod m)。【完全平方数整除性】(1)平方数的个位数字只可能是0，1，4，5，6，9;(2)偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只有可能是0或1;(3)奇数平方的十位数字是偶数;(4)十
9、位数字是奇数的平方数的个位数一定是6;r a raa pppn-=2121(5)不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整除的数的平方能被3整除。因此，平方数被9也符合的余数为0，1，4，7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能是0，1，4，7;(6)平方数的约数的个数为奇数;(7)任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数。(8)设正整数a，b之积是一个正整数的k次方幂(k2)，假设(a，b)=1，那么a，b都是整数的k次方幂。一般地，设正整数a，b，c之积是一个正整数的k次方幂(k2)，假设a，b，c两两互素，那么a，b，c都是正整数的k次方幂。【数的整除性】(1)1与0的特性：1
10、是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a0，a为整数，那么a|0.(2)假设一个整数的末位是0、2、4、6 或 8，那么这个数能被2 整除。(3)假设一个整数的数字和能被3 整除，那么这个整数能被3 整除。(4)假设一个整数的末尾两位数能被 4 整除，那么这个数能被 4 整除。(5)假设一个整数的末位是0 或 5，那么这个数能被5 整除。(6)假设一个整数能被2 和 3 整除，那么这个数能被6 整除。(7)假设一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2 倍，假设差是7 的倍数，那么原数能被7 整除。假设差太大或心算不易看出是否7 的倍数，就需要继续
11、上述截尾、倍大、相减、验差的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133 是否 7 的倍数的过程如下：13-32=7 ，所以133是7的倍数;又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613-92=595，59-52=49，所以6139是7的倍数，余类推。(8)假设一个整数的未尾三位数能被8 整除，那么这个数能被8 整除。(9)假设一个整数的数字和能被9 整除，那么这个整数能被9 整除。(10)假设一个整数的末位是0，那么这个数能被10 整除。(11)假设一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11 整除，那么这个数能被 11 整除。初中数学竞赛公式的整理乘法与因式分解a2-b2=(a+b)
12、(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)三角不等式|a+b|a|+|b| |a-b|a|+|b| |a|b<=-bab|a-b|a|-|b| -|a|a|a|一元二次方程的解 -b+(b2-4ac)/2a -b-(b2-4ac)/2a根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1_X2=c/a 注：韦达定理判别式b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根b2-4ac0 注：方程有两个不等的实根b2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=
13、sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=(
14、1-cosA)/2) sin(A/2)=-(1-cosA)/2)cos(A/2)=(1+cosA)/2) cos(A/2)=-(1+cosA)/2)tan(A/2)=(1-cosA)/(1+cosA) tan(A/2)=-(1-cosA)/(1+cosA)ctg(A/2)=(1+cosA)/(1-cosA) ctg(A/2)=-(1+cosA)/(1-cosA)和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sin
15、A+sinB=2sin(A+B)/2)cos(A-B)/2cosA+cosB=2cos(A+B)/2)sin(A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB - ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+(2n)=n(n+1) 13+23+33+43+53+63+n3=n2(n+1)2/412+22+32+42+52+62+72+82+n2=n(n+1)(2n+1)/61_2+2_3+3_4+4_5+5
