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1、归纳猜想证明数学归纳法可以用来证明与自然数有关的代数恒等式、三角恒等式、不等式、整除性问题及几何问题等。在学习合情推理时所猜得的结论，其可靠性的证明，常常也需要数学归纳法来解决。这就形成了数学中的一类典型题目，即：“归纳猜想证明”。例1 数列满足。 （1）计算，并由此猜想数列的通项公式； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想。 分析：在用数学归纳法对（1）中的猜想证明时，关键是利用求得，在此要注意已知条件中等式的应用，由于它适用于所有自然数，因此可将其中的换做，然后两式相减，合并同类项即得到表达式。 解析：（1）， 由此可猜想。 （2）下面用数学归纳法证明： 当时，左边，右边，猜想成立。假设时
2、猜想成立，即， 那么据已知， ， 由- 可得， ，即当时猜想也成立。 根据可知，猜想对任何都成立。 评注：高考对数学归纳法的考查时隐时现，有时隐蔽在递推数列中考查，应深刻理解与把握“归纳猜想证明”的基本方法，注重其应用。例2 已知，是否存在的整式，使得等式，对于大于1的一切自然数都成立，并证明你的结论。 分析：假设存在，去探索等于多少。 解析：当时，由，即，解得； 当时，由，即，解得； 当时，由，即=，解得。 由此猜想。 下面用数学归纳法证明：当时，等式成立。 当时，由以上经验可知等式成立。假设当时等式成立，即，则当时，。 当时，等式也成立。 由知，对于大于1的自然数，存在整式，使得等式总成立
3、。 评注：这是一个探索性问题，整式需要用经验归纳法来探求和发现，用观察、归纳、猜想的思维途径去概括，然后用数学归纳法给出严密的证明。例3 是否存在常数、使等式对一切正整数成立？证明你的结论。 分析：先取1、2、3，探求、的值，然后用数学归纳法证明对一切的，、所确定的等式成立。 解析：分别用1、2、3代入解方程组 ，解得。 下面用数学归纳法证明： （1）当时，由上式可知等式成立； （2）假设当时等式成立，即 ， 则当时，左端， 当时，等式也成立。 由（1）、（2）得等式对一切都成立。 评注：本题是探索性命题，它通过观察归纳猜想证明完整的思路过程去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是一种非常重要的思维能力。
