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1、S式中，S是测量值yi的标准偏差，即yi补充材料1实验数据的处理（上接教材第二章，p19）注意：（1）用最小二乘法计算斜率 k 和截距 b 时，不宜用有效数字的运算法则计算中 间过程，否则会有较大的计算误差引入。提倡用计算器计算，将所显示的数值均记录下来为 佳。（2 ）如果y和x的相关性好，可以粗略考虑b的有效位数的最后一位与y的有效数字最 后一位对齐，k的有效数字与yn-y1和xn-X中有效位数较少的相同。（3 ）确定有效位数的可 靠方法是计算k和b的不确定度。直线拟合的不确定度估算：（以y二kx + b为例）斜率k和截距b是间接测量物理量，分别令测量数据的A类和B类不确定度分量中的 一个分
2、量为零，而求得另一个分量比较简单，最后将两个分量按直接测量的合成方法求出合 成不确定度，这种方法被称为等效法。可以证明，在假设只有y存在明显随机误差的条件下，k和b的“等效”A类不确定度分 别为：根据上述公式即可算出各个系数（斜率k和截距b）的A类不确定度值，初看上去计算似乎很麻烦，但是利用所列的数据表格，由表中求出的那些累加慰即可很容易算得。最小二乘法应用举例应用最小二乘法处理物理量的测量数据是相当繁琐的工作，容易出现差错。因此，工作时要十分细心和谨惯。为便于核对，常将各数据及计算结果首先表格化。例1.巳知某铜棒的电阻与温度关系为：R = R + -1。实验测得7组数据（见表1）t0如下：试
3、用最小二乘法求出参量R0、a以及确定它们的误差。19.176.3025.177.80表130.136.079.7580.8040.082.3545.183.9050.185.10此例中只有两个待定的参量R0和a，为得到它们的最佳系数，所需要的数据有n,工x ,工y ,工x2 ,工y2和工xy六个累加数，为此在没有常用的科学型计算器时, i i i i i i通过列表计算的方式来进行，这对提高计算速度将会有极大的帮助（参见表2），并使工作有条理与不易出错。其中表内双线右边的计算是为了确定R0和a的误差项用的。表 2it / C(x；)Rt / 0 (yJtxt(x2；)Rtx Rt(y2；)tX
4、Rt(x； y.-)R计算0u. / 0iu 2X10-4i119.176.30364.85821.71457.376.26+0.0416225.177.80630.06052.81952.877.99-0.19361330.179.75906.06360.12400.579.43+0.321024436.080.801296.06528.62908.881.13-0.331089540.082.351600.06781.53294.082.28+0.0749645.183.902034.07039.23783.983.75+0.15225750.185.102510.07242.04263.
5、585.19-0.0981n =V x 二iV y 二iV x 2 =iV y2 =iV x y =i iVv 2 =i7245.5566.009340.84582620060.82845X10-4根据表2中所求得的数据，代入公式（12）（参见教材第二章，p. 19）贝9可得:a= k = 7 X 2006.8 一 2455 決 566.0 = J4Z21 = 0.287880/0C7 x 9340.8 (245.5)25115.35R 二 b 二 566.00 - 0.28788 -2455 二 70.760780077把测量数据代入式（13）和（15）（参见教材第二章，p19）中可求出相关
6、系数V 1V V245.5 x 566.00乙xy 乙x 乙y20060.8 .i i n i i7y =,-Vx2 -(Vx )2 - Vy 2 -(Vy )2,9340.8 (245.5)2 x (45826 (566.00)2)n ii n i77工 X2 -(工 X )2=0.28788 xy )2i9340.8 - (245.5)27= 0.9975745826 -(566.00)27说明：电阻Rt与温度t的线性关系良好，所以取R0的有效数字与R对齐，即R0=70.760； 又因为 S = 31.0 C, R7R = 8.800，取k有效数字为以上两个差值中较少的位数3位, 则k =
7、 0.2880/oC。由此可以得到电阻与温度的相关关系为：R 二(70.76 + 0.288t)0t计算k和b的不确定度：测量仪器为不连续读数装置，仪器误差Ar = 0.010, At = 0.1。0 按补充资料中的公式计算，可得；2845 x 10-4 = 0.23854(0)17 2S = SyRt空=，:n - 2 V=SaSX 2ii n0.239=0.239 x 0.03699 = 0.008841(0/0C)9340.8 - (245.5)27=. :k2 A2 + A2 = (0.28788)+ 0m = 0.000502(0/0C)壬 3 - Xt Ru(a )S2 + u2
8、= J0.008842 + 0.0005022 = 0.0088540WC = 0.009(0/0C)工 X2|9340 8S = S = S 匚=0.00884 x= 0.32292(0)bR0k 71r-u = u = k 2 - A2 + A2 =bR0e t RM戸匝=0.01759(0)u(R ) =、:S2 + u2 = .0.3232 + 0.01762 = 0.3240 = 0.33(0) 0 R0R0故 R = (70.76 土 0.33)0 = (70.8 土 0.4)0 ,0a = (0.2879 土 0.009)0WC = (0.288 土 0.009)0/oC则 R = (70.8 + 0.288t)0t验证及比较最后的计算结果：利用计算机软件(Origin 7.5)对上述实验数据进行线性拟合，发现：其斜率、截距及 其标准偏差，以及测量值yi的标准偏差与直接用所述公式进行计算的结果是完全一致的(仅 讨论A类不确定度，而B类不确定度未考虑)。/ecnatsise15 20 25 30 35 40 45 50 55Temperature /0C
