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1、二倍角的正弦、余弦和正切公式 编稿：丁会敏 审稿:王静伟【学习目的】1.能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并理解它们之间的内在联系.2能纯熟运用二倍角公式进行简朴的恒等变换（涉及导出积化和差、和差化积、半角公式.但不规定记忆),能灵活地将公式变形并运用.3通过运用公式进行简朴的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想措施解决问题的自觉性,体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用【要点梳理】要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式1.二倍角的正弦、余弦、正切公式要点诠释：(1)公式成立的条件是：在公式中，角可觉得任意角,但公式中，只有当及时才成立；()倍
2、角公式不仅限于是的二倍形式,其他如是的二倍、是的二倍、是的二倍等等都是合用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才干纯熟地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的核心. 如：；.和角公式、倍角公式之间的内在联系在两角和的三角函数公式时,就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下:要点二：二倍角公式的逆用及变形1公式的逆用;.2公式的变形;降幂公式：升幂公式：要点三：两角和与差的三角函数公式可以解答的三类基本题型求值题、化简题、证明题1.对公式会“正着用”，“逆着用”,也会运用代数变换中的常用措施:因式分解、配方、凑项、添项、换元等；2掌握“角的演变”规律，谋求所求结论中的角与已知条件中的角的
3、关系，如等等,把握式子的变形方向，精确运用公式,也要抓住角之间的规律(如互余、互补、和倍关系等等);3将公式和其他知识衔接起来使用，特别注意第一章与第三章的紧密衔接.【典型例题】类型一:运用二倍角公式的简朴应用例1求下列各式的值:(1);；(）.【思路点拨】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式.【答案】(）；(2);（3）【解析】（）【总结升华】 解答本类题型重要的是抓住公式的特性，如角的关系、次数的关系等,抓住公式的构造特性对提高记忆公式的效率起至关重要的作用,并且抓住了公式的特性,有助于在解题时观测分析题设和结论中所具有的与公式相似的构造特性，并联想到相应的公式,从而找到解题的切入点举一反三:
4、【变式1】求值:(1)；(2）；(3)【答案】（）；（）;(3）【解析】(1)原式;（2）原式=;(）原式=类型二：运用二倍角公式求非特殊角的三角函数值例2. 求sisin4sin6sin78的值.【思路点拨】解此类题型有两种措施:措施一:将原式中角度成二倍角的正弦形式所有转化为余弦形式，运用进行化简.措施二：把原式作为A式,然后把式中正弦形式所有化为余弦形式，把这个式子作为B式,再两式相乘【答案】【解析】措施一：原式【总结升华】一般地,对于,可以通过乘以sn后连结使用二倍角公式化简，这样便可以生产“连锁反映”措施二：设所求为A，即A=sin6sin42sn66sin78设B=os6cs4co
5、6co78则=【总结升华】在不能观测到所求角的互余角的倍数关系此前.通过设B来构造可以运用二倍角公式的“对偶”式,算出乘积再约去B从而得到原式的值这也是解决类似问题的一种常用措施.举一反三:【变式】【解析】例.求值：. 【思路点拨】化正切为正弦、余弦，便于摸索解题思路【答案】【解析】 原式 【总结升华】逆用二倍角余弦公式和和角的正弦公式,使得问题简朴化.举一反三:【高清课堂：两角和与差的三角公式 4086 例4】【变式1】求值：【解析】原式= = = =【高清课堂:两角和与差的三角公式 例5】【变式】求值：【解析】原式= = = =1类型三:运用二倍角公式化简三角函数式例4.化简:.【思路点拨
6、】观测式子的构造，把倍角展开成单角,然后再进行化简.【答案】【解析】 措施一：原式.措施二:原式.措施三：原式措施四:原式【总结升华】 在对三角函数作变形时，以上四种措施提供了四种变形的角度,即分别从“角”的差别，“名”的差别，“幂”的差别以及“形”的特性四个方面着手研究,这也是研究其她三角问题时常常要用的变形手法.举一反三：【变式1】化简下列各式：(1)(2）【答案】(1）()【解析】(1)(2) 原式= = = = =【变式2】化简：.【答案】1【解析】原式 类型四:二倍角公式在三角函数式给值求值题目中的应用例5.已知，且，求的值.【思路点拨】观测所求的角与已知角的关系,发现它们是二倍的关
7、系，因此用二倍角公式去求解.【答案】【解析】 原式.，,.，.又，【总结升华】要注意本题中的角“2x”与“”的变换措施,即.举一反三:【高清课堂:倍角、半角公式7033例2】【变式1】求值:（1）已知,求(）已知，求【答案】(1)(2）【解析】(1） = = =（)= = =【变式】已知:an=2，求的值.【答案】解法一：=(转化成了齐次式） =解法二: an=, sin=2k,cs=k 原式 又sn2cos=1即(2k)2+k2=1 例6已知,且、都是锐角,求 【答案】【解析】 由,得，即由，得090,09，70.在0与270之间只有9的余弦值为,故【总结升华】给值求角题的求解一般按如下两个
8、环节进行(这两个环节缺一不可):根据题设条件,求角的某一三角函数值;讨论角的范畴,必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范畴,从而拟定角的大小类型五：二倍角公式的综合应用例7.已知函数(x，)的最小正周期是.（1）求的值;（2）求函数的最大值,并且求使获得最大值的的集合.【思路点拨】用降幂公式把“”降幂，然后用辅助角公式化成的形式.【答案】（1)2（2) 【解析】 （1）.由于函数的最小正周期是，可得,因此=2（2)由（)知，当,即时，获得最大值,因此函数的最大值是,此时x的集合为.【总结升华】本题重要考察特殊角的三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦公式及的性质等知识.要记住倍角公式两类
9、重要变形并能纯熟应用:（)缩角升幂公式,，.()扩角降幂公式，举一反三:【变式1】已知函数(）求的定义域及最小正周期；（）求在区间上的最大值和最小值【答案】() (）2 【解析】(）由于，因此.因此函数的定义域为 （）由于,因此 当时,即时，的最大值为； 当时，即时,的最小值为 例8.已知A、B、为三个锐角,且ABC=.若向量=(22snA，coA+sinA)与向量=（sinAcosA,1+siA)是共线向量.（）求角A；（)求函数y2sin2+cs的最大值.【思路点拨】 一方面运用向量共线的充要条件建立三角函数等式,由于可求得A角的正弦值，再根据角的范畴即可解决第(）小题；而第()小题根据第
10、()小题的成果及、B、C三个角的关系,结合三角恒等变换公式将函数转化为有关角的体现式,再根据B的范畴求最值.【答案】（）()2【解析】 （）、共线，（2-2inA）(1+A）(ossnA）(iAcosA),则sin2A,又A为锐角，因此inA，则()=2in2Bos2sinos，=2sin2Bcos(2B)1o2B+cos2+sin2Bsin2BcsB1=sn（2)+1.B（0，),2-(-,），2B-=,解得=，max2.【总结升华】 本题重要考察向量共线（平行)的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数的有界性.本题解答有两个核心：（1)运用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问题;(2）根据条件拟定B角的范畴一般地,由于在三角函数中角是自变量,因此解决三角函数问题拟定角的范畴就显得至关重要了. 举一反三：【变式】已知向量m=(inA，co）,，n=1，且A为锐角(1)求角A的大小；(2)求函数(xR)的值域【答案】（1)(2）【解析】（1）由题意，得,，.由A为锐角得,.(2）由(1)知，因此.由于xR,因此sinx1，.因此,当时,有最大值,当sin =-1时,有最小值3，因此所求函数的值域是
