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1、11.1阐述Black-Scholes股票期权定价模型中对于一年中股票价格概率分布的假设条件。 Black-Scholes股票期权定价模型假定一年中股票价格概率分布服从正态分布，同样，它假设股票的连续回报率也是服从正态分布的。11.2若一股票价格的波动率为每年30%，则在一个交易日内其相应的价格变化的标准差为多少？在本题中匚=0.3，假设一年中有252个交易日，则、t =1, 252 =0.004因此； =0.30.004 =0.019 or 1.9%11.3阐述风险中性定价原理。一个期权或者其他金融衍生品都是通过风险中性定价原理来定价的，期权因此在风险中性下和在真实下有一样的价值。因此我们为
2、了估价期权而假设这个世界是风险中性的，这简化了分析。在风险中性情况下， 所有证券都期望得到无风险利率的回报率。因此在一个风险中性世界，用于预计远期现金流的最合适的贴现率是无风险利率。11.4计算基于无红利支付股票的欧式看跌期权价格，其中执行价格为$50,现价为$ 50 ,有效期3个月期，无风险年收益率为10%，波动率为每年30%。在本题中 S0 =50, X = 50, r =0.1, J =0.3, T = 0.25In(50 /50) +(0.1 +0.09 / 2)0.25d,0.24170.30.25d2 F -0.30.25=0.0917欧式看跌期权价格是50 N ( 0.0.091
3、7) e1 沖-50 N ( 0.2417)_0_1 0.25=50 X 0.4634 e一 50 X0.4045=2.3711.5若在两个月后预期支付的红利为$1.50,则习题11.4中计算会有何变化？在本题中我们在使用BS公式前必须从股票价格中减去红利的贴现值，因此S0应该是So =50 1.50 e1667 “1 =48.52其他变量不变 X =50, r =0.1, ；- 0.3, T =0.25 在本题中d1=0.0414ln(48.52/50) - (0.10.09 / 2)0.250.3 、 0.25d2 = dt -0.3 . 0.25 - -0.1086欧式看跌期权价格是0
4、1 0 2550N(_0.1086) e一怒 -48.52 N(_0.0414)0.1 0.25=50 x 0.5432 e 幔 _ 48.52 x 0.4045 =3.0311.6什么是隐含波动率？如何计算？隐含波动率是使一个期权的Black-Scholes价格等于它的市场价格的波动率，它用互换程序计算。11.7目前股票价格为$ 50,假设该股票的期望收益率为18%,波动率为30%。两年内此种股票价格的概率分布是什么？计算该分布的均值和标准差(95%的置信区间)。在本题中=0.18,=0.30从方程(11.7)两年内此种股票回报率的概率分布是：(0.18 -20.302=0(0.11875,
5、一 20.1768)回报期望值是11.875%。标准差是17.68%。11.8某个股票现价为$ 40。假设其期望收益率为15%，波动率为25%。两年期间所得回报率(连续复利计息)的概率分布是什么？在本题中- 0.15 - 0.25从方程(11.7)两年内此种股票回报率的概率分布是：(0.15 -20.2520.25) = (0.11875,0.1768)11.9某个股票价格遵循几何布朗运动，其期望收益率为16%，波动率为35%。现价为 38。(a) 计算基于该股票的欧式看涨期权将被执行的概率分布。标的物股票的执行价格为$ 40, 6个月后到期。(b) 若到期日的执行价格和到期日如上，则基于该股
6、票的欧式看跌期权将被执行的概率分布是多少？0352(a) In St 、Vn 38 - (0.16 一 )0.5, 0.35、0.5 )2ln St 丁 3.687, 0.247)由于ln 40 =3.689，所以所求的概率是3.689 3.6871 -N ()=1-N (0.008)=10.5032= 0.49680.247(c) 在本题中所求概率是在6个月中股票价格小于 40的概率1-0.4968=0.50322(/2)T 丄96 ；亍 T11.10用本章所用符号，证明St的95%的置信区间是在ses e（心/2）丁卡96歹根据方程11.2_ 2In ST 丁 n S (I 二)T,、T2
7、_ 2在 95%的置信用水平上ST置信区间In S0 （-2）T _1.96,_ 2In So (2)T 1.96 ；T 2经转化得SoeM/2）TX9r，Soe（S）T 皿，11.11 一个证券组合的经理在过去的10年中平均每年的回报率为20%。这种说法在哪些方面有问题？这种说法造成误导，因为平均回报率有几何平均回报率和算术平均回报率，两责最后结果不同。11.12假设一股票。在连续15周每个周末观察一次股票价格（以美圆计算）如下：30.25,32，31.125，30.125，30.24, 30.375, 30.675，33.5，33, 32.875，33, 33.5，33.75, 33.5,
8、 33.25，试估算此股票的波动率，你估算的标准误差。11.13假设某个无红利支付股票的期望收益率为J ,波动率为；。某个具有创新意识的金融机构刚刚宣布：它将交易这样一种证券，即：该证券在T时刻以美元计的收益率等价于LaSt,其中St,是在T时刻股票的价格。（a）利用风险中性定价，计算在T时刻此种证券的价格，用股票价格S和时间T来表示。（b）证明你所计算的价格满足公式（11.15）。11.14若习题11.13中的证券非常成功，此金融机构计划交易这样一种证券，即：该证券在T时刻以美元计的收益等价于St2。（a）利用风险中性定价，计算此种证券在t时刻的价格，用股票价格S和时间t来表示。（b）证明你
9、计算的价格满足公式（11.15）（a）在t时刻In St的期望值是2In S - ()(T t)在风险中性条件下In ST的期望值是In S (r2 )(T )在本题中 S0 =52, X = 50, r =0.12,- 0.30, T =0.25用风险中性估价在t时刻证券的价值是在本题中 S0 =52, X = 50, r =0.12,- 0.30, T =0.25在本题中 S0 =52, X = 50, r =0.12,- 0.30, T =0.25(c)如果f二eDlnr (T t).e - InS - (r2CT )(T2 t)则丄二re (T丄In:t2a(r )(T22a-(r 一
10、一2)(T-t)-t)r(t)2CT(r )2在本题中 S0 =52, X = 50, r =0.12,- 0.30, T =0.25在本题中 S0 =52, X = 50, r =0.12,- 0.30, T =0.25e(T)s22CT2CJ=rf2_ 2BS 方程左边是r In S r(r )(T -1) - (r ) - r2 2因此满足BS方程。11.15 一个在T时刻支付STn的衍生工具，St是T时刻此种股票的价格。当这种股票的价格 服从几何布朗运动时，在t时刻(t T)此种股票的价格有如下形式：h (t, T) Sn其中S是t时刻的股票的价格，h仅只是t和T的函数。(a) 通过代
11、入Black-Scholes偏微分方程，推导一个 h (t, T)满足的普通微分方程。(b) h (t, T)的微分方程的边界条件是什么？(c) 证明2n :. Gn :GnJ Gn _2；G(a) 如果 G (S,t) = h(t,T ) S 贝yht S ,hnS , 一 = hn (n - 1) S, htctcScSct1 2带入 BS方程得ht亠rhnhn (n -1) =rh2(b) 衍生品在t=T时刻价值为Sn，所以微分方程的边界条件是h(T,T) =111.16求无红利支付股票的欧式看涨期权的价格。其中股票价格为$52,执行价格为$ 50,无风险年收益率为12%，年波动率为30
12、%，到期日为3个月。在本题中 S0 =52, X = 50, r =0.12,- 0.30, T =0.25In(5250) +(0.12 +0.3 2 / 2)0.25d 10.53650.30 . 0.25d2 =d0.300.25=0.3865欧式看涨期权的价格是52 N (0.5365)_50 e 卫030.6504 = 5.0611.17求无红利支付股票的欧式看跌期权的价格。其中股票价格为$69,执行价格为$70,无风险年收益率为5%,年波动率为35%，到期日为6个月。在本题中 S0 =69, X = 70, r =0.05,- 0.35, T =0.5In(69 /70) +(0.
13、05 +0.35 2 / 2)汉 0.5d 10.16660.35d2 = dt _0.350.5 - -0.0809欧式看跌期权价格为. 0 5 0.5_0.0257 0eN(0.08(09)N&9(0 .d 6 6eB )7 0- 0.5 3 2 36 90.4 3 3 86 . 411.18有一个无红利支付股票的期权，股票价格为$30,执行价格为$ 29，无风险年利率为5%，年波动率为25%，到期日为4个月。(a) 如果这是一个欧式看涨期权，计算其价格。(b) 如果这是一个美式看涨期权，计算其价格。(c) 如果这是一个欧式看跌期权，计算其价格。(d) 检验看涨-看跌期权的平价关系。(a)
14、11.19假设习题11.18中的股票，打算在 1.5个月后除权除息一次，期望红利为50美分。(a) 若是欧式看涨期权，计算其价格。(b) 若是欧式看跌期权，计算其价格。(c) 若是美式看涨期权，有没有可能提前执行呢？11.20 一个基于无红利支付股票的看涨期权，市场价格为$ 2.5，股票价格为$ 15,执行价格为$ 13,至U期时间为3个月，无风险年利率为5%,计算隐含波动率。11.21用本章所用的符号：(a) 计算 N (x) ?(b) 证明 SN 口)=xe)N(d2)di Y - d2(c) 计算一1和 -6Sds(d) 证明込一rXe )N(d2)- SN (dj _ 其中c是基于无红利支付股6t2右-1票的看涨期权价格。(e) 证明=N (dj6S(f) 证明Black-Scholes对无红利支付股票的看涨期权定价的公式，确实满足 Black-Schole偏微分方程。11
