电磁场数值计算方法的发展及应用

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1、工程电磁场小报告电磁场数值计算方法的发展及应用专业：电气工程姓名：学号：Y、电磁场数值计算方法产生和发展的必然性麦克斯韦尔通过对以往科学家们对电磁现象研究的总结，认为原来的研究工 作缺乏严格的数学形式，并认为应把电流的规律与电场和磁场的规律统一起来。 为此，他引入了位移电流和涡旋场的概念，于1865年提出了电磁场普遍规律的 数学描述一电磁场基本方程组，即麦克斯韦尔方程组。它定量地刻画了电磁场的 转化和电磁波的传播规律。麦克斯韦尔的理论奠定了经典的电磁场理论，揭示了 电、磁和光的统一性。但是，在电磁场计算的方法中，诸如直接求解场的基本方程一拉普拉斯方程 和泊松方程的方法、镜象法、复变函数法以及其

2、它种种解析方法，其应用甚为局 限，基本上不能用于求解边界情况复杂的、三维空间的实际问题。至于图解法又 欠准确。因此，这些电磁场的计算方法在较复杂的电磁系统的设计计算中，实际 上长期未能得到有效的采用。于是，人们开始采用磁路的计算方法，在相当长的 时期内它可以说是唯一实用的方法。它的依据是磁系统中磁通绝大部分是沿着以 铁磁材料为主体的“路径”一磁路“流通”。这种计算方法与电路的解法极其相 似，易于掌握和理解，并得以沿用至今。然而，众所周知，对于磁通是无绝缘体 可言的，所以磁路实际上是一种分布参数性质的“路”。为了将磁路逼近实际情 况，当磁系统结构复杂、铁磁材料饱和时，其计算十分复杂。现代工业的飞

3、速发展使得电器产品的结构越来越复杂，特殊使用场合越来趁 多。电机和变压器的单机容量越来越大，现代超导电机和磁流体发电机必须用场 的观点和方法去解决设计问题。由于现代物理学的发展，许多高精度的电磁铁、 波导管和谐振腔应用到有关设备中，它们不仅要赋与带电粒子能量，并且要有特 殊的型场去控制带电粒子的轨迹。这些都对电磁系统的设计和制造提出了新的要 求，传统的分析计算方法越来越感到不足，这就促使人们发展经典的电磁场理论， 促使人们用场的观点、数值计算的方法进行定量研究。电子计算机的出现为数值计算方法的迅速发展创造了必不可少的条件。即使 采用“路”的方法来计算，由于计算速度的加快和新的算法的应用，不仅使

4、得计 算精度得到了很大的提高，而且使得工程设计人员能从繁重的计算工作中解脱出 来。从“场”的计算方面来看，由于很多求解偏微分方程的数值方法，诸如有 限差分法、有限元法、积分方程法等等的运用，使得大量工程电磁场问题有可能 利用数值计算的方法获得符合工程精度要求的解答，它使电磁系纯的设计计算的 面貌焕然一新。电磁场的各种数值计算方法正是在计算机的发展、计算数学的前 进和工程实际问题不断地提出的情况下取得一系列进展的。二、电磁场数值计算方法的发展历史电磁场数值计算已发展了许多方法，主要可分为积分法（积分方程法、边界 积分法和边界元法）、微分法（有限差分法、有限元法和网络图论法等）及微分 积分法的混合

5、法。1964年，Winslow利用向量位，采用有限差分法离散，求解了二维非线性 磁场问题。随后,Colonias和Dorst用该程序设计了同步加速器磁铁，并把它发展 成为TRIM软件包。此后，采用有限差分法计算线性和非线性二维场的程序如雨 后春笋般地在美国和西欧出现。有限差分法不仅能求解均匀线性媒质中的位场， 还能解决非线性媒质中的场；它不仅能求解恒定场和似稳场，还能求解时变场。 在边值问题的数位方法中，此法是相当简便的。在计算机存储容量许可的情况下， 采取较精细的网格，使离散化模型较精确地逼近真实问题，可以获得足够精度的 数值解。但是，当场城几何特征很不规则时，有限差分法的适应性将远逊于有限

6、 元法。70年代初期，加拿大的P. Silvester和M. V. K. Chari把有限元法引用到电磁 场计中，并应用于电机工业，得出了电机内电磁场向题的第一个通用非线性变 分表述。有限元法以变分原理为基础，用剖分插值的办法建立各自由度间的相互 关系，把二次泛函的极值问题转化为一组多元代数方程组来求解。它能使复杂结 构和边界的边值问题得到解答。目前，它能有效地计算非线性二维及轴对称静态、 瞬变及交流稳态场问题，还相继出现了用有限元法求解三维非线性静态电磁场以 及非线性三维稳态涡流场问题。有限元法在电磁场数值分析领域中得到了越来越 广泛的应用。有限元法和有限差分法有一个共同的特点，即用有限个自

7、由度来近 似描述一个连续体。在开域问题中，必须把边值为零的边界取到相当远处，致使 需要计算的场区变得很大，网格的节点数亦随之增加，使所需的计算机内存和 CPU时间均增大。例如为控制带电粒子束的轨迹，场分布的连续性至关重要，用 微分法米求解时，由于计算机容量和计算时间的限制，要达到规定的要求常常是 很困难的，有时甚至是不可能的。1972年，C. W. Trowbridge等人提出用计算机求解电磁场积分方程的基本思 想。由于积分方程法的离散仅需在源区进行，所以能较好地解决开域问题以及连 续场的计算问题。对于线性问题，积分方程法具有较高的精度。但是当用积分 方程法去解非线性问题时，由于确定物质磁化状

8、态的离散方程的系数矩阵是非对 称满阵，加上每一剖分单元重心上的场参数是用向量来描述的，在三维场中每一 单元重心上形成三个未知数，需要相当大的内存来存贮系数矩阵的元素。此外， 耦合系数是由二重或三重积分通过数学变换化简得来，带有超越函数，轴对称场 还含有椭圆积分函数。因此，系数的形成要消耗大量的CPU时间。1978年，C. W. Trowbridge和J. Simkin等人提出了双标量位法，它用两 种标量位来描述恒定磁场。在电流区采用简化标量位，在无电流区采用全标量位。 交界而上过多的未知数可以通过磁场的交界而条件予以消去。这种方法亦称为积 分一微分方程法。因为微分方程法形成的系数阵为对称稀疏阵

9、,系故计算简单, 收敛速度也快。一旦铁磁物质在非线性状态下的工作参数确定之后，就可以利用 积分方程法计算线性场区的场分布，发挥积分法的优点。这就是近年来听发展的 微分一积分方法。90年代后，边界元素法(B E M )在工程计算中得到了日益广泛的应用。它是 以边界积分法为基础，通过加权余量法或格林定理变换，将场域问题转换到边界 离散，可以求解无界区域的电磁场定解问题，对于线性问题，可以降低求解问题 的维数，不需对定解问题的整个求解区域进行剖分，而只划分边界单元。在线性 条件下，边界元法用于电磁场数值计算，可以方便地求解恒定磁场、交流稳态和 时变涡流场的问题。对于非线性磁场问题还有待于进一步的研究

10、探讨。B E M法 也有它的不足之处。例如，代数方程组的系数矩阵不是稀疏阵，因此，所有元素 都要用数值积分求出，使计算时间不能压缩得更短些，对多种介质中场的问题， 要分别对每种介质区域取边界、建立方程，然后联立求解，这样就比较麻烦。如 场区材料性质很复杂，那还是用有限元法更合适。另一与上述不同的方法是网络图论法，它将网络图论应用到电磁场数值计算 中，对场及连续域问题，直接从物理图象建立代数方程组，可称为直接离散模 型。事实上，该工作方法是“场”与“路”两种方法的结合和两种理论的统一。 该方法已用于求解恒定磁场、交流稳态涡流场问题。除以上所介绍的方法外，随着电磁场数值分析的不断发展，各种新方法不

11、断 涌现，如计算电场的模拟电荷法，最小二乘配点法，求解磁场的模拟电流法，快 速Fourie变换法、有限体元法、无网格计算法等等。各种方法互相配合，出现了一些混合方法，如：矩量法一模拟电荷法、模拟 电荷法一有限元法、有限元法一边界元法等，有效地解决了一些实际问题。近年 来人工神经网络，小波理论等也引入了电磁场的数值计算中，瞬态电磁场计算如 时域有限差分法的应用有了长足的发展。总之随着现有的电磁场数值计算方法的 不断深入发展、提高和完善，新的方法不断产生。三、目前使用的数值计算方法1. 有限差分法在电磁场数值计算方法中，有限差分法是应用最早的一种方法。有限差分法 以其概念清晰，方法简单、直观，有大

12、致固定的处理和计算模式，具有一定的通 用性等特点，在电磁场数值分析领域内得到了广泛的应用。有限差分法的基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来 代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网 格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似， 积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组， 即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再 利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。2, 有限元法传统的变分法在20世纪二三十年代为其新型时期，理论上发展很快，各种 变分问题的最后

13、求解都可归结为解欧拉方程的边值问题，然而只有在一些特殊情 况下欧拉方程才能求出精确解，在大多数情况下，欧拉方程的精确解无法求出。 四五十年代，随着计算机的出现，使其在实际应用中逐渐为比较灵活、通用的有 限差分法所替代。但是，有限差分法在理论上没有以变分原理为基础，因而其收 敛性和数值稳定性往往得不到保证。随后发展形成的有限元法正是变分法与有限 差分法相结合的成果，它取长补短地在理论上以变分原理为基础，在具体方法构 造上又利用了有限差分法网格离散化处理的思想。有限元法是以变分原理为基础， 将要求解的微分方程型数学模型一边值问题，首先转化为相应的变分问题，即泛 函求极值问题；然后，利用剖分插值将变

14、分问题离散化为普通多元函数的极值问 题，最终归结为一组多元的代数方程组，求解该方程组，从而获得边值问题的数 值解。3. 矩量法矩量法，是近年来在天线、微波技术和电磁波散射等方面广泛应用的一种方 法。从这些实际问题涉及开域、激励场源分布形态较为复杂等特征出发，矩量法 是将待求的积分方程问题转化为一个矩阵方程的问题，借助于计算机，求得其数 值解，从而在所得激励源分布的数值解基础上，即可算出辐射场的分布及其波阻 抗等特性参数。先选定基函数对未知函数进行近似展开，代入算子方程，再选取 适当的权函数，使在加权平均的意义下方程的余量等于0，由此将连续的算子方 程转换为代数方程。原则上，矩量法可用于求解微分

15、方程和积分方程，但用于微 分方程时所得到的代数方程组的系数矩阵往往是病态的，故在电磁场问题中主要 用于求解积分方程。矩量法的特点是：矩量法将连续方程离散化为代数方程组， 既适用于求解微分方程，又适用于求解积分方程。它的求解过程简单,求解步骤 统一，应用起来比较方便，然而需要一定的数学技巧,如离散化的程度、基函数 与权函数的选取，矩阵求解过程等。另外必须指出的是,矩量法可以达到所需要 的精确度、解析部分简单,可计算量很大,即使用高速大容量计算机，计算任务 也很繁琐。4. 多重网格方法许多复杂的工程电磁场的计算问题，如磁场与流场耦合问题、三维模型磁场 计算问题，这些问题都可以概述为偏微分方程的定解

16、问题。然而，这些偏微分方程 往往是非定常、非线性的，其数值求解不仅计算规模庞大，而且涉及到许多方面的 数值技术，这样在数值求解时，代数方程组的求解往往占据了整个计算所需要的大 部分计算时间。多重网格算法作为一种快速计算的方法，在迭代求解由偏微分方 程组离散化得到的代数方程组的过程中,能够节约大量的时间。这一方法的基本 原理在于，能在不同间距的网格上消除不同频率的误差分量,细网格用来消除高频 率误差分量，粗网格则用来消除低频率误差分量。多重网格方法经过近30年的 发展，在理论方面已经比较成熟。对于多重网格方法在工程中的应用，大部分的文 章都集中在流体力学中。在最近的几年中，多重网格方法在静电场和流场中的计 算中的应用已经取得了一些成果。然而，在磁场以及磁场与物理场耦合的数值计 算相关的文章还非常少。本文将多重网格方法和有限体积法应用到磁场计算以及 磁场与流场耦合的问题中，应用Visual Fortran语言编制了相应的计算机求解程序， 通过对有解析解的泊松方程的求解验证了程