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1、函数中的赋值问题第一讲 赋值的意义函数赋值是一个热门的话题，赋值之所以“热”，是因为它涉及到函数领域的方方面面：讨论函数零点的个数(包括零点的存在性，唯一性 )；求含参函数的极值或最值；证明一类超越不 等式；求解某些特殊的超越方程或超越不等式以及各种题型中的参数取值范围等等.然而时下，在相当一部分学生的答卷中，甚或在一些地区的模拟试卷的标准解答中，一种以极限语言或极限观点替代赋值论证的“素描式”解题现象应予关注和纠正.1从一道调研试题的标准解答说起题目 1 已知函数 f(x) aex x2 bx(a,b R).(1) 略；(3)略；(2) 设b 0，若f (x)在R上有且只有一个零点，求 a的
2、取值范围.2 2 解: (2) b 0,则方程aex x2 0即a电有唯一解.e记 xr g(x) , g (x) x(2 % x)，令 g (x) 0xi 0* 2 .ee x 0 时，g (x) g(0)0 g(x)的取值范围是0,) (?) 0 x 2时，g(x)的取值范围是(0,弓)；e x 2时，g (x) 0 ”与“ g(x)的取值范围 是0,) ”是否等价？2.也许解答的潜意识是xg(x)，那么其依据是什么?作为指挥棒的省考、国考又是怎样处理相关问题的呢答：一个中心：参数全程扫描 ；一个基本点：赋值丝丝入扣g(x)02xxe2.探究题目2设函数f(x) In x ax,g(x)
3、ex ax，其中a为实数.(1)略;(2)若 g(x)在(1,)上是单调增函数，求 f(x)的零点个数，并证明你的结论.(2)解：由g(x)在(1,)上单调增，得a 1 (过程略).1oa 0时，f (x)1 a 0, f (x)Z ,而 f(ea1) a(1 ea1) 1 0, f(e) 1 ae 0，且 f (x)图像不间断，依据零点定理，f (x)有且只有一个零点.【分析a 0时，由f (x) 0 x】(极大值点),f (x)max In - 1】 aa2a -时,f (x) In x -x .令 f (x)丄 丄 0,x e .e x e且 x e, f (x)0,0 x e, f (
4、x)0 ,所以x e是f (x)的极大值点，也是最大值点，所以 f (x) f (e)0 ,当且仅当 x e, f (x)0 .故f (x)有唯一零点x e .30 a 1 时，令f(x) xa 0,x a .列表:x叫)1 af (x)0f(x)Zf(X)max所以f(x)max唔)吩10. 在(0,丄)上，f (1) a 0且f (x)单调，所以f (x)有且只有一个零点;a 在(丄，)上，显然 A 1，注意到2的结论(In x =x),aaae所以(2)2ln丄丄aa a2(ln!右2(ea右0，同理f(x)有且只有一个零点.由f (x)有两个零点.综上所述，当a 0或a e时,f (x
5、)有1个零点；当0 a 1时，f(x)有2个零点.【注1】本题第(2)问“ 30 ae时”赋值点的形成过程及其多元性在(0,1)上，因为1 (0,1)，且为常数，所以理应成为直观赋值点的首选.aa1右侧充分远处.尝试 2，失败!aa在(1,)上【难点！】依据单调性，直观赋值点应在表明该赋值点不够远，再改试 4，成了！(过程如上)显然，赋值点不唯一.在(0,1)上，也可考虑1ae1,f(!)0(标解),a e或 a 1, f (a) In a a a1 a20 (均不及赋值1简便).在(1，)上也可考虑,aA右f)eIn首-Aa a aa a a1e(I咛1还可考虑 e右(标解)，并注意到x 0
6、时，exx2(证略),f (e)【注2】在本题2结论(In x 丄刈的牵引下，区间ed，)上的三个赋值点a1a, 1aea(-a1脉相承,a a井然有序：因为In x xe (当且仅当 x1e,等号成立)，所以e_1 A 1 ae a2 a#以上赋值均为先直观，后放缩其特点是见效快，但有时有点悬，解、证风险大所以，当直观赋值受挫时，不妨通过放缩，无悬念地求出赋值点，实现解(证)目标.现以区间(丄，)为例a【分析：在丄右侧充分远处，希望存在 X1，使f(X1)0,为此，应意识到在f(x)的表达式中, a对f (x) 0起主导作用的那一项是ax，不宜轻易放缩，放缩的目标应锁定In x .依据 In
7、 x x 1 (x 1)(证略)，f (x) x 1 ax 0 x ，不妨取为 1 ,1 a1 a但丄 1 ?此路受挫，故须调整放缩的尺度】1 a a思路一：由本题2结论，In x .e丄2X2- e12X令ax丄2X丄122x2X1详解:由本题2o结论(Inx 1x),lne在(,)上，存在xi 冷，f(X1)aa1X12ax11a-0 (以下略). a思路二：由In x x 1 k 1时，In x In k 1 kk( 1)的任意性给赋值提供了更为宽松的选择空间:f(x) In x ax In k 1 ax (1 a)x k 2(1 a)x k ,1k 1 a 丄 0i令(丄 a)x k
8、0 x 丄k(0 a -) ak 1 k1 aea -ak(k 1) 1 0不妨令k 2x2乌aa详解：In x x 1 (证略),in寺 a x 1 In x ax 1 In - ax - f (x)x - a 22a2a，2a今取X2 4t -, f (x2)寻牛-0(以下略)a a2 a a【跟踪训练】1 思考并解答本讲题目1(2);2 思考函数赋值问题有哪些依据和方法.第二讲 赋值的依据和方法1 .赋值的理论依据:1）不等式的基本性质以及一些简单代数方程、不等式的求解.2）零点存在定理基本模式是已知f （a）的符号，探求赋值点m （假定m a ）使得f（m）与f（a）异号, 则在（m,
9、a）上存在零点.3）一些基本的超越不等式，如:x 111 In x x 1 : Inx 1 时,2(x 1)x 12x3. 0 x 1 时,-_1 x1 In x 2x 9 x 1; e ex;e x 1(x0);e x x(x 0).【注】应用上述不等式，一般须给出证明.2 .赋值的应对方略：2.1赋值的方法：10直观放缩法其形态是先直观尝试，后放缩证明，其特点是见效快，但有时有点悬，解、证风险大.（参阅上节“真题探究”）2 放缩求解法其形态是先适度放缩，然后通过解不等式或方程求出赋值点，其特点是稳妥、可靠，但有时，目标放缩有点难.(参阅上节“真题探究”中的思路一，思路二)2.2赋值点遴选要
10、领：遴选赋值点须做到三个确保，三个优先三个确保：(1)确保参数能取到它的一切值；(2)确保赋值点x0落在规定区间内；(3)确保运算可行.三个优先：(1)优先常数赋值点；(2)优先借助已有极值求赋值点(参阅2016届南通一模N19);In xIn(3)优先简单运算，如,x等.ee2.3放缩的分类及其目标：放缩于赋值，如影随形，唇齿相依.(1)依放缩的依据划分，可分为无条件放缩 和条件放缩 两类.前者如，e x 1 , lnx x 1等;后者如 x 0 时，ex 1 x 1 时，ex( )-等；e 1 x(2)依赋值点的个数划分，可分为单点式和两点式前者以解方程为归宿；后者以解不等式为归宿，从某种
11、意义上说，后者是前者受挫时的应急之举.一般情形下，放缩的目标应锁定于对函数的变化趋势起不了主导作用的那些项；但有些问题中,很难界定“主导”与非“主导”，此时放缩的尺度取决于对题目中各种因素的综合考量这 正是赋值的难点.例1已知函数f x ax2 2x 2 a lnx .2(1)略；(2)略；(3)若曲线C : yx在点x 1处的切线I与C有且只有一个公共点，求正数a的取值范围.解析:(3)易得切线2，代入y f x整理得:a x2 1 2Inx0，题设等价于函数g x有且只有一个零点,，其中宁【下一步分析：首先讨论x , 0恒成立(不可能)，及0恒成立，x恒成立0 .】1o当,0，即卩a2时，
12、由g x且当x 1时，g x0, g x Z ;当 0 x 1 时，g x所以x 1是g x唯一的极小值点，也是最小值点.且g 10 ,故a2满足题意.20 即 0 a 2 时.由 g x 0 xi 1 , X2【下一步分析：应比较 g x两零点 与1的大小.】2a x 111 即 a 1 时，g x0,xg x Z，又g 10，所以a 1满足题设.21，即0 a 1时，当1 x,g x 0 , g x ，所以 g【接着探究：在，希望存在x,，使g X1的那一项应该是旦x22是几乎可以忽略不计的上，g x Z，所以在0，此外应意识到对g1 （该项不宜轻易放缩）2 a lnx ”，事实上，当右侧
13、充分远处，x 0起主导作用，故放缩的主要目标x 1 时，2所以g x 22 X12 x 1x1 2x 1详解:又存在X41，所以2 aIn x1ag X1a 2 x12 112x11x 11在*内，g x存在零点，所以2x 1 ax 22令0X1a】0 ,2X 1|x120 .a In x 0 ,g x至少有两个零点，不合题意.31，即 1 a 2 时，在,1 上，g x 0 , g x ，所以 g g 1 0 .【接着探究：在0,上，g x Z，所以在x 0右侧充分近处,希望存在X2，使g x20 .此外应意识到对 g x 0起主导作用的那一项应该是Inx （所以不宜轻易放缩）故放缩的主要目标是几乎可以忽略不
