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1、概率中的数学思想数学思想是数学的精髓，是知识转化为能力的桥梁在概率知识中蕴含着丰富的数学思想，运用这些数学思想，不仅可使我们深刻地理解和掌握概率的基础知识，而且可以使我们学会用数学思想进行推理，为解决数学问题起到了促进和深化的作用，本文例谈概率中常用的几种数学思想一、方程思想方程思想是数学解题的重要思想方法，在解决概率问题时，如能根据题目中所给的数量关系，列出方程或方程组，则可使问题圆满解决例1为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员某天逮住这种动物1200只，作标记后放回，经过一星期后又逮住这种动物1000只，其中，有作过标记的100只，按概率的方法估算，保护区内有多少只这种动
2、物？解：设保护区内共有这种动物x只，每只动物被逮到的可能性是相同的，那么第二次逮到的1000只中，有100只是第一次逮到的，说明第二次逮到的占所有这种动物的比例为，所以，解得按此方法估算，保护区内约有此种动物12000只二、分类讨论思想分类讨论思想是重要的数学思想方法，通过分类可以把复杂的问题化为简单而熟悉的问题进行解决但是在分类时要正确选择分类的标准，使分类做到不重不漏例2袋中装有白球和黑球各3个，从中任取2个，取到黑球的概率是多少？分析：取到黑球包括两种情况：“一个黑球、一个白球”、“两个黑球”，因此需分情况讨论解：设“取到一个黑球，一个白球”为事件A，“取到两个黑球”为事件B，“取到黑球
3、”为事件C，则由题意易知，从袋中任取2个球，共有65215种可能结果，“取到一个黑球、一个白球”有339种可能结果，“取到两个黑球”有3223种可能结果故，又事件A与事件B互斥，故点评：分类讨论时，需注意不重不漏三、数形结合思想数形结合思想是数学的重要思想方法之一，在解题过程中，多从形的角度审视和挖掘数所代表形的本质，借助图形的直观性和几何性质，可以少走弯路，达到更好的解题功效例3一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，将这个玩具先后抛掷两次，试问：（1）向上的数字之和为5的概率是多少？（2）向上的数字之和至少是9的概率是多少？（3）向上的数字之和为多少时的概率最大？
4、分析：将正方体玩具先后抛掷两次可能出现36种结果，用如图所示的图表表示出来，则所有的结果便尽收眼底，一目了然解：将正方体玩具抛掷一次，它落地时向上的数字有1，2，3，4，5，6这六种结果，因此，先后将这些玩具抛掷两次，一共有6636种不同的结果（1）由图表可知，向上的数字之和为5的结果有（1，4）、（2，3）、（3，2）、（4，1）四种，其中括号内的两个数字分别为第一、第二次向上的数字，所以向上的数字之和为5的概率是（2）由图表可知，向上的数字之和至少是9的结果有（3，6）、（4，5）、（4，6）、（5，4）、（5，5）、（5，6）、（6，3）、（6，4）、（6，5）、（6，6）十种，所以向上
5、的数字之和至少是9的概率是（3）由图表可知，向上的数字之和出现最多的数为7（一共出现了6次），故向上的数字之和为7的概率最大，最大概率为四、化归与转化思想在解决数学问题时，人们常将待解决的问题甲，通过某种转化过程，归结为一个已经解决和比较容易解决的问题乙，然后通过乙问题的解决返回去求得原问题的解，这就是“化归”的思想例4（同例2）分析：从中任取2个球的情况有三种：“一个黑球、一个白球”；“两个黑球”；“两个白球”“取到黑球”包括两种情况，故可先转化为求其对立事件的概率，再利用对立事件公式求解解：设“取到黑球”为事件A，“取到两个白球”为事件，从对立事件的角度考虑，那么事件A的对立事件是事件，因
6、此由题意知，从袋中任取2个球，共有种可能结果，“取到两个白球”有种可能结果故，高考资源网谈“约会型”概率问题的求解由两个量决定的概率问题，求解时通过坐标系，借助于纵、横两轴产生公共区域的面积，结合面积产生问题的结论，我们称此类问题为“约会型”概率问题“约会型”概率问题的求解，关键在于合理、恰当引入变量，再将具体问题“数学化”，通过数学模型，产生结论例1A、B两列火车都要在同一车站的同一停车位停车10分钟，假设它们在下午一时与下午二时之间随机到达，求这两列火车必须等待的概率解：以x轴和y轴分别表示A、B两列火车到达的时间，两列火车必须等待，则，如图1由于的所有可能结果是边长为60的正方形，可能等
7、待的时间由图中阴影部分所表示，记“两列火车必须等待”为事件A因此，这两列火车必须等待的概率是点评：“火车必须等待”，那么它们的到达时间差必须不大于10分钟，于是将A、B两列火车到达车站的时间分别用x，y表示，结论很快产生例2小明每天早上在六点半至七点半之间离开家去学校上学，小强每天早上六点到七点之间到达小明家，约小明一同前往学校，问小强能见到小明的概率是多少？解：如图2，方形区域内任何一点的横坐标表示小强的到达时间，纵坐标表示小明离开家的时间，由于区域内任意一点的出现是等可能的，因此，符合几何概型的条件由题意，只要点落在阴影部分内，就表示小强能见到小明，即事件A发生，所以，由得，即小强能见到小
8、明的概率是点评：此题与例1很相似，但又有很大不同：两人的出发时间不同，如何将“相见”转化为数学式子？深入分析会发现是小强到的时间，是小明离家时间，要相见必须，于是产生了一个不等式组，结合图形，分析面积产生结论例3 水池的容积是20m3，向水池注水的水龙头A和水龙头B的水流速都是/小时，它们在一昼夜内随机开024小时，求水池不溢出水的概率解：设水龙头A开x小时，水龙头B开y小时，当然，x0，y，水池不溢出水，则记“水池不溢出水”为事件A，如图3，则A所占区域面积为，整个区域的面积为，由几何概型的概率公式，得，即水池不溢出水的概率为点评：由两个龙头引出两个变量x、y，再抓住“流速相等且都在一昼夜内
9、随机开024小时”，于是符合“约会型”，可仿照“约会型”进行求解例4某同学到公共汽车站等车上学，可乘坐8路、23路，8路车10分钟一班，23路车15分钟一班，求这位同学等车不超过8分钟的概率解：如图4，设横轴表示23路车的到站时间，纵轴表示8路车的到站时间，记“8分钟内乘坐8路车或23路车”为事件，则所占区域面积为，整个区域的面积为，那么，等车不超过8分钟的概率，即这位同学等车不超过8分钟的概率为点评：本题两路公共汽车的到站时间恰好是两个变量，再抓住两车的到站时间间隔，即可以转化为“约会型”概率，再仿照“约会型”概率进行求解透过现象，抓住本质，我们可以把下面的问题化归为约会型问题例5在一条长为
10、2的线段上，（1）任取两点，求它们到中点距离平方和小于1的概率；（2）任取三点，求它们到中点距离平方和小于1的概率解：（1）设线段上两点到线段中点的距离分别为x，y，则x1，y1，如图5，记“它们到中点距离平方和小于1”为事件A，则事件，因此，即到中点距离平方和小于1的概率为（2）设线段上三点到线段中点的距离分别为x，y，z，则x1，0y1，0z1，记“它们到中点距离平方和小于1”为事件B，则事件因此，即到中点距离平方和小于1的概率为点评：第（1）问涉及的问题有一定的难度，首先引入两个变量，再将两个变量“横、纵”化有一定的技巧，当“横、纵”化以后，“约会型”的样子就见到了当然也就可以借助于“约
11、会型”概率问题进行求解第（2）问是第（1）问类比产生的，有了第（1）问的求解，第（2）问也就很自然了考虑概率问题谨防想当然高考资源网前面我们学习过概率的一条基本性质：不可能事件的概率为零现在反过来问大家：概率为零的事件一定是不可能事件吗？有些同学会认为：是其实不然！下面可以通过几何概型的例子来消除你的疑惑当考虑的概型是古典概型时，概率为零的事件一定是不可能事件当考虑的概型是几何概型时，概率为零的事件未必是一个不可能事件例如：设试验为：“随机地向半径为的圆内投点”，事件A为：“点投在圆的一条直径上”（如图）这样，试验的全部结果所构成的区域度量为圆的面积，而构成事件A的区域的度量为线段AB的面积根
12、据几何概型公式，有，但事件A却可能发生顺便由对立事件知：概率为的事件未必是必然事件下面再举一个例子：在实际生活中，我们抽鉴时，主持抽鉴的人常说等到大家到齐后才开始抽鉴，这样对抽鉴的人才公平，这样对吗？错解：对，否则后抽鉴的人可能占便宜分析：错在没有搞清事件的性质，此事可看作一个人们先后有序地抽取的情况，这样每个人抽取的机会都是等可能的正解：从概率角度看，先抽鉴的与后抽鉴是一样的，并没有什么差别在这里要提醒同学们注意：对一些概念和结论不能想当然在学习时应当注意寻找一些反例和特例，这对于深化概念，全面思考会有极大益处，同学们也可以搜集一些类似的题目高考资源网概率创新应用题两例古典概型是一种重要的概
13、率模型，也是高考命题的重点在高考或各地模拟考试中出现了以古典概型为背景的创新题，重点考查同学们的探究能力和创新能力下面撷取两例，与同学们共赏问题的本质一、信息迁移创新信息迁移题是近年高考命题改革的一个新的亮点此类试题通过给出一个新概念，或定义一种新运算，或给出几个新模型等来创设问题情境，要求同学们在阅读理解的基础上，应用所学的知识和方法，实现信息的迁移，以达到灵活解题的目的例1“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数（如2578），在两位的“渐升数”中任取一个数比37大的概率是_解析：十位是1的“渐升数”有8个；十位是2的“渐升数”有7个；十位是8的“渐升数”有1个，所以两位的“渐升数”
14、共有个；以3为十位比37大的“渐升数”有2个，分别以4、5、6、7、8为十位数的“渐升数”均比37大，且共有个，所以比37大的两位“渐升数”共有个故在两位的“渐升数”中任取一个比37大的概率是二、图表解读创新给出图表，要求同学们对图表进行观察、分析，并提炼、挖掘出图表所给予的有用信息，排除有关数据的干扰，进而抓住问题的实质，达到求解的目的例2下表为某班英语及数学的成绩分布，全班共有学生50人，成绩分为15五个档次例如表中所示英语成绩为4分且数学成绩为2分的学生共5人（设x、y分别表示英语成绩和数学成绩）（1）的概率是多少？且的概率是多少？的概率是多少？（2）的概率是多少？的值是多少？解析：（1）；（2）；又，则高考资源网
