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1、 2014学年第一学期九年级数学学科学案 梁 开 中 学 导 学 案 装 订 线编制人：陈乐宇 审核人：刘凯迪 班级： 小组： 姓名： 评价： 梁 开 中 学 导 学 案 装 订 线课题：4.4.4黄金分割【学习目标】理解黄金分割的定义；会找一条线段的黄金分割点.【学习重点】找一条线段的黄金分割点.【学习难点】找黄金分割点和画黄金矩形.一、学前准备【温故知新】1已知线段a=2，b=6，c=3，线段b是a和c的比例中项吗？为什么？2数12与3的比例中项是 .二、探究活动【合作沟通】1、自主探究解决问题生活中我们见到过许许多多的图形，形态各异，美观大方.上图是一个五角星图案，在五角星图案中，用刻度
2、尺分别度量线段AC、BC的长度，然后计算与,它们的值相等吗？归纳:在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果,那么称线段AB被点C黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 其中=0.618. 2、计算黄金比。 三、寻找黄金分割点1、线段的黄金分割点做法 ：已知线段AB，按照如下方法作图：（1）经过点B作BDAB，使BD=AB. （2）连接AD，在DA上截取DE=DB. （3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.2、师生探究合作交流探究一：C点是线段AB 的黄金分割点吗？（引导学生探究）证明：（提示：设AB =1） 探究二：一条线段有几
3、个黄金分割点？ 四、黄金矩形1、古希腊时期的巴台农神庙,把它的正面放在一个矩形ABCD中，以矩形ABCD的宽AD为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现，,点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？证明：归纳:矩形ABCD宽与长的比是黄金比.这个矩形叫做黄金矩形. 2、学以致用【应用巩固】1.已知C是线段AB的黄金分割点.如果AC：AB0.618,那么BC：AC , BC:AB .（结果保留3个有效数字）2.若M、N是线段AB上的两个黄金分割点,且AB=1,则MN .（精确到0.001）五、当堂自我测验（A、B层必做）1如下图，若点P是AB的黄金分割点，则线段A
4、P、PB、AB满足关系式 ，即AP是_与_的比例中项.2黄金矩形的宽与长的比大约为 （精确到0.001）3、如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果,那么下列说法错误的是( )。 A、线段AB被点C黄金分割 B、点C叫做线段AB的黄金分割点C、AB与AC的比叫做黄金比 D、AC与AB的比叫做黄金比4、如图,点C是AB的黄金分割点,AB=4,则AC2=_.（结果保留根号）5、如图的五角星中,与的关系是( ) A、相等 B、 C、 D、不能确定6、一条线段的黄金分割点有 个。六、拓展提高（经典再现）如图1， C为线段AB的黄金分割点某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线
5、”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线（1）猜想：在ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是ABC的黄金分割线你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组进一步发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF/CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是ABC的黄金分割线请你说明理由（4）如图4，点E是ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF/AD，交DC于点F，显然直线EF是ABCD的黄金分割线请你
6、画一条ABCD的黄金分割线，使它不经过ABCD各边黄金分割点分析：本题是类比探究题，首先要理解“黄金分割线”的定义：（1）要判断CD是否是ABC的黄金分割线，需判断CD将ABC分割成的两个三角形的面积是否满足“黄金分割线”定义；（2）要判断三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线，需要验证中线分成的两个三角形是否满足“黄金分割线”的定义。 解：（1）直线CD是ABC的黄金分割线理由如下：设ABC的边AB上的高为h因为SADC=ADh，SBDC=BDh，SABC=ABh，所以，又因为点D为边AB的黄金分割点，所以有因此所以直线CD是ABC的黄金分割线（2）因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两
7、部分s1，s2，此时，即，所以三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线（3）因为DF/CE，所以DEC和FCE的公共边CE上的高也相等，所以有SDEC=SFCE，设直线EF与CD交于点G所以SDGE=SFGC所以SADC=S四边形AFGD+SFGC=S四边形AFGD+SDGE=SAEF，SBDC=S四边形BEFC又因为，所以因此，直线EF也是ABC的黄金分割线（4）画法不惟一，现提供两种画法；画法一：如图5，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB，DC于M，N点，则直线MN就是ABCD的黄金分割线画法二：如图6，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM/NE交AB于点M，连接MN，则直线MN就是ABCD的第1页 共 4 页
