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1、“恒成立问题”解决的基本策略一、恒成立问题的基本类型在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题.函数在给定区间上某结论成立问题，其表现形式通常有：在给定区间上某关系恒成立；某函数的定义域为全体实数R;某不等式的解为一切实数；某表达式的值恒大于a等等恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：一次函数型；二次函数型；变量分离型；根据函数的奇偶性、周期性等性质；直接根据函数的
2、图象。二、恒成立问题解决的基本策略(一)两个基本思想解决“恒成立问题”思路1、m之f(x)在xWD上恒成立UmAf(X)max思路2、mEf(x)在xwD上恒成立umf(x)min如何在区间D上求函数f(x)的最大值或者最小值问题，我们可以通过习题的实际，采取合理有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f(x)的最值。这类问题在数学的学习涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，也是近年来高考中频频出现的试题类型，希望同学们在日常学习中注意积累。二)、赋值型一一利用特殊值求解等式中的恒成立问题，常常用赋
3、值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得例1.由等式x4+aix3+a2x2+a3x+a4=(x+1)4+bi(x+1)3+b2(x+1)2+b3(x+1)+b4定义映射f：(a1,a2,a3,a4)fbi+b2+b3+b4,则f:(4,3,2,1)一()A.10B.7C.-1D.0略解：取x=0,则a4=1+b+b2+b3+b4，又a4=1,所以b1+b2+b3+b4=0,故选D例2.如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-对称，那么a=().A.1B.-1C.2D.-2.nn略解：取x=0及x=z,则f(o)=f(-),gpa=-1,故选B.此法体现了数学中
4、从一般到特殊的转化思想.(三)分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略1、一次函数型：若原题可化为一次函数型，则由数形结合思想利用一次函数知识求解，十分简捷-f(m) 0.f(n) 0同理，若在m,n内恒有f(x)0,则根据函数的图象(直线)可得上述结论等价于例2.对于满足|a|W2的所有实数a,求使不等式x2+ax+12a+x分析：在不等式中出现了两个字母：x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在-2,2内关于a的一次函数大于0恒成立的问题解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+10在|a|W2时恒成立,设f(a尸(
5、x-1)a+x2-2x+1，则f(a)在-2,2上恒大于0,故有：x 3或 x 1x a1 或 x 0丘/口2解得：Jx-101.x3.即xC(8,1)u(3,+0)此类题本质上是利用了一次函数在区间m,n上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方(或下方)即可.2、二次函数型涉及到二次函数的问题是复习的重点，同学们要加强学习、归纳、总结，提炼出一些具体的方法，在今后的解题中自觉运用。(1)若二次函数y=ax2+bx+c(a丰0大于0恒成立，则有a0且A0在R上恒成立问题，并且注意对二次a1项系数的讨论.解：依题意，当xwR时,222(2回1)、之0恒成立,21 , a -1 = 0
6、 ,所以，当a2 -1=0，即当a 1 0,时,a 1=0,a = 1,o o2._此时(a -1)x (a -1)x =1 - 0,.a 1a2 -1a = 1.当a20,-,即当二信一7一，,)“。时， a 1有a2 1-9,a2 -10a 9 0,综上所述，f(x)的定义域为R时，aW1,92例4.已知函数f(x)=x+ax+3a,在R上f(x)至0恒成立，求a的取值范围分析：y=f(x)的函数图像都在X轴及其上方，如右图所示：略解：A=a24(3a)=a2+4a-120,.-6a2变式1：若xw1-2,2】时，f(x)20恒成立，求a的取值范围.分析：要使x三1-2,2】时，f(x)至
7、0恒成立，只需f(x)的最小值g(a)至0即可.22解：f(x)=|x+aia-a+3,令f(x)在2,2上的最小值为g(a).24,、a7当一一4时，g(a)=f(2)=73a20r：aE又*a423a不存在.aaa2当一2ww2,即KwaM4时，g(a)=f(-)=-a+30-,-6a2又:-4a4224.-4a2,即a父“时，g(a)=f(2)=7+a之0,a-7又;ac4-7a2在1-2,2上恒成立，若把2移到等号球效，则把原题转化成左边二次函数在区间-2,2时恒大于等于0的问题.=a2 _4 1 _a 0.-2 -2 /2 a 0,即f(x)=x2+A10在F2,2】J成立.2_=a
8、-4(1-a)0f(2)0_/f(-2)0-5EaE-2亚-2，I一2a卡a22或E222综上所述，-5MaM2、,2-2.解法二：(运用根的分布)a-5当一一4时，g(a)=f(2)=73a之2-aE皂(4,收)二a不存在.232a-aa当-22,即-4a4时，g(a=)f=(-a+之，3224-22-2a2,即a4时，g(a)=f(2)=7+a之2,2a-5-5-a：二-4综上所述-5Mag(a)恒成立，则g(a)f(x)min；若对于x取值范围内的任何一个数，都有f(x)f(x)max.(其中f(x)max和f(x)min分别为f(x)的最大值和最小值)例5.已知三个不等式x24x+30
9、,x26x+80,2x29x+m0.要使同时满足的所有x的值满足，求m的取值范围.略解：由得2Vx3,要使同时满足的所有x的值满足，即不等式2x29x+m0在xw(2,3)上恒成立，即m-2x2+9x在x(2,3)上恒成立,又-2x2+9x在xw(2,3)上大于9,所以m9例6.函数f(x)是奇函数，且在1,1上单调递增，又f(_1)=1,若f(x)t2-2at+1对所有的aw-1,1都成立，求t的取值范围.解：据奇函数关于原点对称，f(1)=1,又f(x)在1,1上单调递增f(x)max=f(1)=1_2-f(x)t2at+1对所有的aW1,1都成立.因此，只需t22at+1大于或等于f(x
10、)在-1,1上的最大值1,2_2_.t-2at1-1=t-2at-0又丫对所有aE-1,1都成立,即关于a的一次函数在卜1,1上大于或等于0恒成立，2t2-2t-02t22t-0二t-2或1=0或ta恒成立，求实数a的取值范围.分析：设y=|x+1|-|x-2,对任意实数x,不等式x+1-x-2a恒成立即转化为求函数y=|x+1|-|x-2|的最小值，画出此函数的图象即可求得a的取值范围.3x-1斛：令y=x+1-x-2=12x-1-1x2kBJ在直角坐标系中画出图象如图所示，由图象可看出，要使对任意实数x,不等式|x+1-x-2a恒成立，只需aa恒成立，求实数a改为对任意实数x,不等式x+1
11、-x-23;对任意实数x,不等式x+1+|x-2a恒成立，求实数a,构造函数，画出图象，得a3.利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围三、在恒成立问题中，主要是求参数的取值范围问题，是一种热点题型，介绍一些基本的解题策略，在学习中学会把问题分类、归类，熟练基本方法。(一)换元引参，显露问题实质1、对于所有实数x,不等式24(a12a(a12xlog2+2xlog2+log22a0恒成立，求a的取值范围。aa14a2a2a解：因为log2的值随着参数a的变化而变化，右设t=log2,a1a1则上述问题实质是“当t为何值时，不等式(3-t)x2+2x2ta0恒成立”。这是我们较为熟悉的二次函数问题，它等价于3-t02a求解关于t的不等式组：9。解得t0,即有log20,易得0a1。：=(2t
