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1、第7讲 正、余弦定理及应用举例一、选择题1在ABC中，AB5，AC3，BC7，则BAC的大小为()A. B. C. D.解析：由余弦定理得：cosBAC.BAC.答案：A2(2010改编题)ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c，若ab，A2B，则cos B()A. B. C. D.解析：由正弦定理得：，又ab，A2B，2cos B，cos B.答案：B3在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若A，b1，ABC的面积为，则a的值为()A1 B2 C. D.解析：SABCbcsin A1csin，c2，又a2b2c22bccos A14212cos3，a.答案：D4(201
2、0山东烟台模拟)在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a为最大边，如果sin2(BC)sin2Bsin2C，则角A的取值范围为()A. B.C. D.解析：由题意得：sin2Asin2Bsin2C，再由正弦定理得a20.则cos A0，0A，0A.因此得角A的取值范围是.答案：D二、填空题5(2009安徽合肥质检)在ABC中，AC，BC2，B60，则A的大小是_；AB_.解析：，sin A，A45或135(舍去)，C180AB75.，AB1.答案：4516(2010情景创新题)2009年8月9日，莫拉克台风即将登陆福建省霞浦县，如图，位于港口O正东方向20海里的B处的渔
3、船回港避风时出现故障位于港口南偏西30方向，距港口10海里的C处的拖轮接到海事部门营救信息后以30海里/小时的速度沿直线CB去营救渔船，则拖轮到达B处需要_小时解析：由题意知，BOC120，因为BC2OC2OB22OCOBcos 120700，所以BC10，所以拖轮到达B处需要的时间t(小时)答案：7(2010模拟精选)在ABC中，BC4sin 10，AC2sin 50，C70，则ABC的面积为_解析：Sabsin C4sin 102sin 50sin 704sin 10sin 50sin 704cos 20cos 40cos 80.答案：三、解答题8(2010辽宁营口检测)在ABC中，角A，
4、B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sin Acos A0，cos B，b2.(1)求sin C的值；(2)求ABC的面积解：(1)由sin Acos A0可得sin Acos A，得tan A，故A.因为A，B，C为ABC的内角，且A，cos B，所以CB，sin B，所以sin Csincos Bsin B.(2)由(1)知sin A，sin C，sin B，又因为b2，所以在ABC中，由正弦定理，得a.所以ABC的面积Sabsin C2.9(2009全国卷)设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos(AC)cos B，b2ac，求B.解：由cos(AC)cos B及B(A
5、C)得cos(AC)cos(AC)，即cos Acos Csin Asin C(cos Acos Csin Asin C)，所以sin Asin C.又由b2ac及正弦定理得sin2Bsin Asin C，故sin2B，sin B或sin B(舍去)，于是B或B.又由b2ac知ba或bc，所以B.10(2009福建厦门调研)在海岸A处，发现北偏东45方向，距离A(1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75的方向，距离A 2n mile的C处的缉私船奉命以10n mile/h的速度追截走私船此时，走私船正以10n mile/h的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追
6、上走私船？解：如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在ABC中求出BC，再在BCD中求BCD.设缉私船用t h在D处追上走私船，则有CD=10t，BD=10t.在ABC中，AB=-1，AC=2，BAC=120，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC(1)2222(1)2cos 1206，BC=，CBD=90+30=120，在BCD中，由正弦定理，得sinBCD，BCD=30.即缉私船北偏东60方向能最快追上走私船1(2010创新题)有一道解三角形的题目，因纸张破损有一个条件模糊不清，具体如下：“在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已
7、知a，B，_，求角A.”经推断，破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A.试在横线上将条件补充完整解析：(1)若破损处的条件为b边的长度，则由得b；(2)若破损处的条件为c边的长度，由ABC，知C，再用正弦定理，得c.故本题答案可以是b或c.答案：b或c2()在ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边长，已知a，b，c成等比数列，且a2c2acbc，则A_，ABC为_解析：a，b，c成等比数列，b2ac.又a2c2acbc，b2c2a2bc.在ABC中，由余弦定理得cos A，A60.由b2ac，即a，代入a2c2acbc整理得(bc)(b3c3cb2)0，bc.则ABC为正三角形答案：60正三角形
