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1、第8章 一元一次不等式8.1 认识不等式一、背景分析1学习任务分析不等式是解决实际问题的一种数学模型，它不仅是初中阶段学习的重点内容，而且也是后面学习函数等知识的基础.它是在学习了一元一次方程、二元一次方程组之后的后续内容，贯穿于数学学习的始终,起着横贯上下的作用.本节是本章的第一课时，主要学习两个概念：不等式和不等式的解.重点是让学生理解不等式和不等式的解的意义，能正确列出不等式；难点是准确应用不等号，正确理解不等式的解；渗透建模、类比、分类等思想方法.2学生情况分析学生在小学对不等量关系、数量大小的比较等知识已经有所了解,但对含有未知数的不等式还是第一次接触，本节就是对“不等”这一概念进一
2、步明确，使它成为一种有效的数学工具.学生在列不等式时，对数量关系中的“不大于”、“不小于”、“负数”、“非负数”等数学术语的含义不能准确理解，在把用文字语言表述的不等关系转化为用符号表示的不等式时有一定困难.二、教学目标设计依据课程标准对79年级不等式学段的目标要求和本班学生实际情况，特确定如下目标：知识与技能1.能够从现实问题中抽象出不等式，理解不等式的意义，会根据给定条件列不等式.2.正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.3.理解不等式的解的意义，能举出一个不等式的几个解并且会检验一个数是否某个不等式的解.过程与方法经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号感和数学化的能
3、力，体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性.情感态度与价值观使学生产生独立克服困难、运用知识解决问题的成功体验，树立学好数学的自信心；在独立思考的基础上，积极参与讨论，在合作交流中有一定收获.三、教学过程设计（一）创设情境，引入新知（用时8分钟）设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实基于此,设置如下情境: 200克 x克情境1：如图，天平左盘放三个苹果，右盘放200克砝码，天平倾斜.设每个苹果的质量为x克，怎样表示x与200之间的关系？先引导学生独立思考、合作交流，再根据情况出示思
4、考题：1天平左边的三个苹果的总质量如何用含x的代数式表示？2天平哪边重？3应该用怎样的符号才能把表示天平左右两边的代数式连接起来？答案：3x200,或2003x. 由实际问题入手，既体现数学知识的实用性，又激发学生的学习兴趣.情境2:如图,小明与小聪玩跷跷板,大家都不用力时,跷跷板左低右高.小明体重50千克,小聪体重a千克,小聪背的书包重2千克,小明没有背书包.怎样表示a与50之间的关系呢?在上个情境的启发下，学生分组讨论后可以很快得到答案：a+250,或50a+2.通过上面两个实例,学生们切实经历了不等式的产生过程,体验到不等式是由于表示不等关系的需要而产生的数学模型.接着师生互动进行归纳：
5、引导学生思考:上面的4个式子:3x200，2003x,a+250，50a+2.有什么共同特征?它们是等式吗?目的是引导学生回忆等式的概念，类比得出不等式的概念：用不等号“”表示不等关系的式子，叫做不等式（inequality）.教师顺势引出本节课题：8.1认识不等式同时告诉学生：“”、“”、“”也是不等号,并利用下表加深印象.常见不等号的读法和意义：不等号读 法表示的意义大于左边的量比右边的量大小于左边的量比右边的量小大于或等于左边的量不小于右边的量小于或等于左边的量不大于右边的量不等于左边的量大于或小于右边的量通过以上探索，学生很自然地理解了不等式的意义及常见的不等号的读法和意义，本节重点和
6、难点都得到了初步突破.（二）深入思考，再探新知（用时10分钟）结合课本上的问题，再出示如下问题：问题1：小华和李敏两人的建议，到底谁的比较合算呢？为什么? 同学们的探索过程如下:小华：买27张票，付款：527=135(元);李敏：买30张票，付款：430=120(元).显然120135.这就是说，买30张票比买27张票付款要少，表面上看是“浪费”了3张票，而实际上节省了.问题2: 我们只用120元就买了30张票，买30张票，我们不仅省钱，而且多买了票，是“浪费”还是“节省”？问题3：买30张票比买27张票付的款还要少，这是不是说任何情况下都是多买票反而花钱少？如果你们一家三口去游园，是不是也买
7、30张票呢？为什么去的人少了,买30张票就不合算呢？ 问题4：至少要有多少人去参观，多买票反而合算呢？能否用数学知识来解决？教师先指出：设有x人要去公园游园.此时重点启发学生从以下两方面探索，渗透分类思想.（1）如果x30，则按实际人数买票，每张票只付4元.（2）如果x30，那么：按实际人数买票x张,要付款5x元；买30张票,要付款430120(元).如果买30张票合算，则1205x.问题5:x取哪些数值时,1205x成立？为便于思考,让学生借助表格进行探究.引导学生有目的地讨论、探索， 人数x需付款5x30张票的价格120与5x的大小关系1205x成立吗？211051201205x不成立22
8、1101201205x不成立231151201205x不成立24120120120=5x不成立251251201205x成 立261301201205x成 立271351201205x成 立281401201205x成 立291451201205x成 立列表计算：由上表可见，当x= 25，26,27，28，29时，也就是说，至少要有 25 人进公园时，买30张票合算.接着借助学生完成的表格，引导学生观察最后一列，分析、讨论：X的值可以分为哪几类？学生很快发现X的值分两类：一类使1205x不成立，一类使1205x成立.进一步引导学生类比方程的解的概念概括出不等式的解的概念：能使不等式成立的未知数
9、的值，叫做不等式的解 。设计依据：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了不等式的解的意义，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础。（三）典例示范，应用新知（用时6分钟）例1用不等式表示下列关系，并写出两个满足不等式的数：（1）x的一半小于1；（2）y与4的和大于0.5；（3）a是负数；（4）b是非负数.这是教材第52页的例题，前3个小题,让学生独立思考,教师个别指导完成后,让学生点评.重点启发变式最后一个小题并给出规范的书写过程，如把“b是非负数”变式为“b是负数”、 “b是正数”,“b是非正数”等,让学生反复体味不等号的用法和意义.解：（1）0.5x0.
10、5,如y=0,1;（3）a0或b=0，通常可以表示成b0，如b=0,2.然后启发学生归纳出:1.列不等式的基本步骤: （1）确定不等式两边的代数式.（2）根据所给条件中的关系，选择合适的不等号.（顺利突出本节重点）2.常用的表示不等关系的词语及对应的不等号:关键词语第一类：明确表明数量的不等关系第二类：明确表明数量的范围特征大 于比大小 于比小不大于不超过至 多不小于不低于至 少正数负数非负数非正数不等号0000通过归纳，加深对不等号的用途和意义的理解，第一个难点再次突破.例2下列各数:0，3，3，4,0.5，20 ,0.4中, 是方程x+3=0的解； 是不等式x+30的解； 是不等式2x+3
11、x的解.此例是为突出重点和难点而增加的题目，体现创造性地拓宽、使用教材.通过判断这几个数是否方程x+3=0的解,启发学生类比得出:检验一个数是否不等式的解的方法:把所给的数值分别代入不等式的两边，化简后，观察不等式是否成立，成立者即为不等式的解，否则不是.(第2个难点又一次顺利突破.)答案：0，3，3，4,0.5，20,0.4中,3是方程x+3=0的解；0，3，4,0.5,0.4是不等式x+30的解；-20是不等式2x+3x的解.（四）闯关检测，强化新知（用时8分钟）第一关: 1、判断下列各式中哪些是不等式，哪些不是。（是打“”不是打“”） x+1=2 （ ） 5x-31 （ ） x-6 （
12、） 11x-46（ ） 74 （ ） 2x-y0 （ ）目的是强化本节重点，检测学生识别不等式的水平.第二关:用“”或“”填空:（1）7 3； （2）7+3 4+3； （3）7+（-1） 4 +（-1）；（4）73 43； （5）7（-3） 4（-3）（6）7（-3） 4 （-3）.此题是为下一节学习不等式的基本性质做必要的铺垫.答案:（1）;（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.第三关:用适当的不等式符号表示下列关系：（1）与1的和是正数； （2）的2倍与1的和大于3； （3）的一半与4的差的绝对值不小于； （4）的2倍减去1不小于与3的和； （5）与的平方和是非负数； （6）的2倍加上3
13、的和大于2且小于4； 第四关：判断下列各数，哪些是不等式x+24的解。（是打“”不是打“”） -1；（ ） -3；（ ） -2.5；（ ） 0；（ ） 1；（ ） 2；（ ） 3；（ ） 3.5；（ ） 4；（ ）目的是考查学生检验不等式的解的能力。第五关:火眼金睛,下列说法中，哪些是正确的？哪些是错误的？请把错误的加以改正.（1）“2x与1的和是负数”用不等式表示为：2x+10；（2）“a与b的差是非负数”用不等式表示为：a-b0；（3）“a的2倍与4的差不小于5”用不等式表示为：2a-45；（4）“x的相反数与3的和是正数”用不等式表示为：3-x0.解:（1），（4）正确；（2）（3）错误,改正如下：（2）因为非负数即0,可改为:a-b0；（3）因
