奥数中的和差问题说课材料

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1、和差问题、和倍问题、差倍问题和差问题：已知两个数的和与差，求出这两个数各是多少的应用题，叫做和差应用题。 基本数量关系是：（和+差）* 2=大数（和一差）* 2=小数 解答和差应用题的关键是选择合适的数作为标准，设法把若干个不相等的数变为相等的 数，某些复杂的应用题没有直接告诉我们两个数的和与差，可以通过转化求它们的和与差， 再按照和差问题的解法来解答。例 1 ：有甲乙两堆煤，共重 52 吨，已知甲比乙多 4 吨，两堆煤各重多少吨？ 分析：根据公式，我们要找出两个数的和与差，就能解决问题。由题意：堆煤共重 52吨 知：两数和是 52；甲比乙多 4 吨知：两数差是 4。甲的煤多，甲是大数，乙是小

2、数。故解法 如下：甲：（52+4）十 2=28 （吨） 乙： 28-4=24 （吨）例2：两只笼子里共有 15只鸡，从甲笼提出 3只后，甲笼比乙笼还多 2只，两只笼子原来各 有多少只鸡？分析：从题意知：甲比乙多 5 只，所以，两数和是 15，两数差是 5.甲是大数。甲：（15+5）十 2=10 （只）乙： 15-10=5 （只）练习：1、两堆石子共有 800吨，第一堆比第二堆多 200吨，两堆石子各有多少吨？2、黄茜和胡敏两人今年的年龄 是 23岁， 4年后，黄茜比胡敏大 3 岁，问黄茜和胡敏今年各 是多少岁？3、把长 84厘米的铁丝围成一个使长比宽多 6 厘米的长方形。长和宽各是多少厘米？二

3、、 和倍问题 已知两个数的和，又知两个数的倍数关系，求这两个数分别是多少，这类问题称为和倍问题解决和倍问题的基本方法：将小数看成 1 份，大数是小数的 n 倍，大数就是 n 份， 两个数一共是 n+1 份。基本数量关系：小数二和十（n+1）大数=小数x倍数 或 和-小数二大数例 1 ：甲班和乙班共有图书 1 60本，甲班的图书是乙班的 3 倍，甲乙两班各有图书多少 本？分析：从题目中知，乙班的图书数较少，故乙是小数，占 1 份，甲占 （3+1） 份。乙：160-（3+1）=40 （本）甲： 160-40=120（本）例 2：果园里有梨树和桃树共 165 棵，桃树棵数比梨树棵数的 2 倍少 6

4、棵，梨树和桃树 各多少棵？分析：由题意，桃树增加 6 棵，桃树正好是梨树的 2 倍，这时总数就是： 165+6=171，这 样就转化成标准和倍问题，将梨树看成 1 份，一共是 3 份。梨树的棵数：171-3=57,求桃树的棵数时要减去 6棵。桃树：171-57-6=108 梨树：（165）-（ 2+1） =57 （棵） 桃树： 171-57-6=108 （棵）练习：1、小明和小强共有图书 120本,小明的图书是小强的 2倍,他们两人各有图书多少本？2、果园里一共有桃树和杏树 340棵,其中桃树比杏树的 3倍多 20棵,两种树各种了多少棵？3、甲仓库存粮 104吨,乙仓库存粮 1 4 0吨,要使

5、仓库的存粮是乙仓库的 3倍,那么必须人乙 仓库运出多少吨放入甲仓库？4、一个长方形的周长是是 30厘米,长是宽的 2倍,求长方形的面积是多少？三、 差倍问题 已知两个数的差,并且知道两个数倍数关系,求这两个数,这样的问题称为差倍问题。 解决差倍问题的基本方法：设小是 1 份,如果大数是小数的 n 倍,根据数量关系知道大数是 n 份,又知道大数与小数的差,即知道 n-1 份是几,就可以求出 1 份是多少。 基本数量关系：小数=差* （n-1）大数=小数x n 或大数=差+小数 例 1 ：一张桌子的价格是一把椅子的 3 倍，购买一张桌子比一把椅子贵 60 元。问桌椅各多少 元？分析：桌子的价格与椅

6、子的价格的差是 60，将椅子看成小数占 1份，桌子占 3 份，份数 差为 3-1 ，根据数量关系：椅子的价格：60（ 3-1 ） =30 （元） 桌子的价格： 30+60=90（元）例 2：两筐重量相同的苹果，甲筐卖出 7千克，乙筐卖出 1 9千克后，甲筐剩余的苹果是乙筐 的 3 倍，原来两筐各有苹果多少千克？分析：两筐苹果的重量相同，故两筐卖出的数量差即是原来苹果的数量差。两筐苹果的差 为 1 9-7= 1 2 （千克） ，将乙筐看成 1 份，甲筐为 3 份，份数差为 2.乙筐现有苹果：（19-7）-（ 3-1 ） =6 （千克）乙筐原来有： 6+19=25（千克）甲筐原来有 25 千克。练

7、习：1、甲桶酒是乙桶酒重量的 5 倍，如从甲桶中取出 20 千克到入乙桶，那么两桶酒重 量相等。两桶酒原来各多少千克？2、六、一班有花盆的数量是六、二班的 3 倍，如果六、一班再购买 20 个花盆后， 两班花盆数相等，两班原有花盆多少个？作业：1、甲、乙两桶油共重 1 00千克，从甲桶中取出 5千克放入乙桶中，此时两桶油正好相等。求 两桶油原来各有多少千克？2、甲、乙两箱洗衣粉共有 90 袋，如果从甲箱中取出 4 袋放入乙箱中，则两箱中洗衣粉的袋 数相等。求原来两箱洗衣粉各有多少袋？3、刘晓每天早晨沿长和宽相差 40 米的操场跑步，每天跑 6 圈，共跑 2400 米，问这个操场 的面积是多少平

8、方米？4、小强今年 15岁，小亮今年 9 岁。几年前小强的年龄是小亮的 3倍？5、有两段一样长的绳子，第一根剪去 21米，第二根剪去 13 米后是第一根剩下的3倍，两根绳子原来有多长?6、 老猫和小猫去钓雨，老猫钓的鱼是小猫的 3倍，如果老猫给小猫3条后，小猫 比老猫还少2条。两只猫各钓了多少条鱼？7、学校今年参加科技兴趣小组的人数比去年多 41人，今年人数比去年的3倍少 35人，今年有多少人？和倍冋题和倍问题是已知大小两个数的和与它们的倍数关系，求大小两个数的应用题.为了 帮助我们理解题意，弄清两种量彼此间的关系，常采用画线段图的方法来表示两种量 间的这种关系，以便于找到解题的途径。例1甲班

9、和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图 书多少本？分析 设乙班的图书本数为1份，则甲班图书为乙班的3倍，那么甲班和乙班图书 本数的和相当于乙班图书本数的 4倍.还可以理解为4份的数量是160本，求出1份的 数量也就求出了乙班的图书本数，然后再求甲班的图书本数 .用下图表示它们的关系：解：乙班：160-（ 3+1） =40 （本） 甲班：40X 3=120 （本） 或 160-40=120 （本） 答：甲班有图书120本，乙班有图书40本 这道应用题解答完了，怎样验算呢?可把求出的甲班本数和乙班本数相加，看和是不是 160本；再把甲班的本数除以 乙班本数，看是不是等

10、于3倍.如果与条件相符，表明这题作对了 注意验算决不是把 原式再算一遍。验算：120+ 40=160 (本)120- 40=3 （倍）。例2甲班有图书120本，乙班有图书30本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班 图书的2倍？分析 解这题的关键是找出哪个量是变量，哪个量是不变量 从已知条件中得出， 不管甲班给乙班多少本书，还是乙班从甲班得到多少本书，甲、乙两班图书总和是不 变的量.最后要求甲班图书是乙班图书的 2倍，那么甲、乙两班图书总和相当于乙班现 有图书的3倍.依据解和倍问题的方法，先求出乙班现有图书多少本，再与原有图书本 数相比较，可以求出甲班给乙班多少本书（见上图）。解：甲、乙两班共有

11、图书的本数是:30+ 120=150 （本） 甲班给乙班若干本图书后，甲、乙两班共有的倍数是:2+ 1 = 3 （倍） 乙班现有的图书本数是：150- 3=50 （本） 甲班给乙班图书本数是：50-30=20 （本）综合算式：(30 + 120)-( 2+1) =50 (本)50-30=20 (本) 答：甲班给乙班20本图书后，甲班图书是乙班图书的 2倍验算：（120-20）-（ 30+20）= 2 （倍）(120-20) + (30+20)= 150 (本)例3光明小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？分析 把女生人数看作一份，由于男生人数比女生人数的3倍还少

12、40人，如果用男、女生人数总和760人再加上40人，就等于女生人数的4倍（见下图）。TSO_A_解：女生人数：（760+ 40）-（ 3+ 1） =200 （人）答：男生有560人，女生有200 人。男生人数：200X3-40=560（人）验算：560+ 200=760 （人）或 760-200=560 （人）（560+40）- 200=3 （倍）。例4果园里有桃树、梨树、苹果树共 552棵.桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨 树少20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？分析 下图可以看出桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，都是同梨 树相比较、以梨树的棵数为标准、作为 1份数容易

13、解答.又知三种树的总数是552棵. 如果给苹果树增加20棵，那么就和梨树同样多了；再从桃树里减少 12棵，那么就相 当于梨树的2倍了，而总棵树则变为552+20-12=560 （棵），相当于梨树棵数的4倍。曰H电果解：梨树的棵数：（552+ 20-12）-（ 1 + 1+ 2）=560- 4=140 （棵） 桃树的棵数：140X 2+ 12=292（棵） 苹果树的棵数：140-20=120（棵）答：桃树、梨树、苹果树分别是292棵、140棵和120棵例5 549是甲、乙、丙、丁 4个数的和.如果甲数加上2,乙数减少2,丙数乘以2, 丁数除以2以后，则4个数相等.求4个数各是多少？分析 上图可以

14、看出，丙数最小由于丙数乘以2和丁数除以2相等，也就是丙数 的2倍和丁数的一半相等，即丁数相当于丙数的4倍.乙减2之后是丙的2倍，甲加上 2之后也是丙的2倍.根据这些倍数关系，可以先求出丙数，再分别求出其他各数。解：丙数是：(549+ 2-2 )-( 2 + 2+ 1 + 4)=549十9丁数是：61 X 4=244=61验算：120+124+ 61+244=549甲数是：61X2-2=120120+ 2=122 124-2=122乙数是：61 X 2+ 2=12461 X 2= 122 244 - 2= 122答：甲、乙、丙、丁分别是 120、124、61、244.差倍问题前面讲了应用线段图分

15、析“和倍”应用题，这种方法使分析的问题具体、形象， 使我们能比较顺利地解答此类应用题下面我们再来研究与“和倍”问题有相似之处 的“差倍”应用题。“差倍问题”就是已知两个数的差和它们的倍数关系，求这两个数差倍问题的解题思路与和倍问题一样，先要在题目中找到1倍量，再画图确定解题方法.被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量，然后 求出另一个数，最后再写出验算和答题。例1甲班的图书本数比乙班多80本，甲班的图书本数是乙班的 3倍，甲班和乙班各 有图书多少本？分析上图把乙班的图书本数看作1倍，甲班的图书本数是乙班的3倍，那么甲班 的图书本数比乙班多2倍.又知“甲班的图书比乙班多 80本”，即2倍与80本相对应, 可以理解为2倍是80本，这样可以算出1倍是多少本.最后就可以求出甲、乙班各有 图书多少本。解：乙班的本数：80-（ 3-1 ） =40 （本）验算：120-40 = 80 （本）120- 40=3 （倍）甲班的本数：40X 3=120 （本）或 40+ 80=120 （本）。答：甲班有图书120本，乙班有图书40本。例2菜站运来的白菜是