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1、高三第一轮复习数学-三角函数的最值一、教学目标：掌握三角函数最值的常见求法，能运用三角函数最值解决一些实际问题.二、教学重点：求三角函数的最值三、教学过程：（一）主要知识：求三角函数的最值，主要利用正、余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型 处理：y =asinx b，设t =sinx化为一次函数y =at - b在闭区间t 二-1,1上的最值求之; y = a sin x b cosx c，ab引入辅助角论“），化为12322a(t -1)_2 y = atanx bcot x，设 t = tanx化为均值定理求最值；at2 bt用二法求值；当ab 0时，还可用平y ：a2 b2
2、 sin(x) c求解方法同类型； y = asin2 x bsin x c ,设 t = sin x ,化为二次函数 y = at2 bt c在 t 一1,1上的 最值求之； y = asin xcosx b(sin x _cosx) c ， 设 t=siixc化为二 次函数-bt - c在闭区间t 2,上的最值求之;y =asinx b根据正弦函数的有界性，即可分析法求最值，还可“不等式”法或“数形 csin x +d结合” （二）主要方法：（1） 认真观察函数式，分析其结构特征，确定类型。（2） 根据类型，适当地进行三角恒等变形或转化，这是关键的步骤。（3）在有关几何图形的最值中，应侧重
3、于将其化为三角函数问题来解决。2.特别说明注意变换前后函数的等价性，正弦、余弦的有界性及函数定义域对最值确定的影响，含参数函数的最值，解题要注意参数的作用和影响。（三）例题分析：1、化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值。例1：求函数y =sin2x n xcosx-1的最值，并求取得最值时的x值。解:(1 -cos2x)2in2x-12.311二1= sin 2x -cos2x -一二sin(2x )-一22262TEJIJI当 2x2k,即 x=k一(k，Z)时，y 取得最大值，ymax623JITt31当2x2k一，即x=k一（k，Z）时，y取得最小值，ymix =626练习：变式1、
4、函数y = sin x(cosx sin x J 0 c x c丿的最大值是4R211v_,.解： y=sinxcosxsin x= sin2x (1 cos2x) = = sin 2x + I二 222lc思维点拨：三角函数的定义域对三角函数有界性的影响。2、转化为闭区间上二次函数的最值问题。53- i例2是否存在实数 a,使得函数y = sin2 x acosx a 在闭区间 0,821 2_上的最大值是1?若存在，求出对应的 a值？若不存在，试说明理由。f1 T解：y = _ cosx _a i +k2丿2 a251a -482当0空x 时，0空cosx空1，令t = cosx则O zt
5、乞1， 23综上知，存在a符合题意。2思维点拨：闭区间上的二次函数的最值问题字母分类讨论思路。x练习变式3：求函数y =cot sinx - cotx sin2x的最值.1 cosx . cosx 解：ysinxsi nxsi nx(1Y2sinxcosx =2 cosx + - i4丿1 sinx = 0 cosx =二 1 . 当 cosx 时,y 有最小值43、换元法解决sin x 士cosx,sin xcosx同时出现的题型。例 3 求函数 y 二(sin x a)(cosx - a)的最值(0 ： a _2)。解: y = sin xcos x a(sin x cosx) a令 si
6、n x cosx = t，则 t -、2, . 2 ，且有 sin x * cos x =21 2 _1 L 故 y =- (t a)2- 一，由 a (0 2知当 t = -a 时,2 2加宁2时，仏宀22a 2。思维点拨：遇到sinx cosx与sin xcosx相关的问题，常采用换元法，但要注意sin x cosx的取值范围是2八2，以保证函数间的等价转化。练习变式4、求函数y = 4-3sinx 4-3cosx的最小值。解：y =16 -12 sin x cosx 9sin xcosx令 t =sin x + cosx = 72 sin x + , t4丿L ,22 1,则sin xc
7、osx 二t2 -1y 6-12t 9 t 1229（4、7-t - i +-2i 3丿 2t L.,22】47所以当t 时，ymin324、图象法，解决形如 y = asi门乂 c型的函数。bcosx +d例4、求函数y竺空的值域。2 +sin x判别式法。思维点拨：此题为基本题型解决的方法很多，可用三角函数的有界性或万能公式,这里以图象法的主求解。解：由 y 3cosx 得 y cosx ，设点 P si nx, cosx Q -2,02 +sin xV3 sin x （一2 ）则 cosx可看作是单位圆上的动点 P与定点Q连线的斜率k2 sinx2k,3, 3令：y=k(x+2 )，圆心
8、到直线的距离 d = ,=1，得-或山+k233所以函数的值域为1-1,11。例5设x0,，若方程3sin(2x解:a有两解，求a的取值范围。 y AJI设 y =3sin(2x3), y =a ,要使两函数图象有交点(如图)3r思维点拨:在用数形结合法解题时，作图一定要准确。本题若改为方程有一解，则 围又该怎样呢？5、利用不等式单调性求最值。t +(1+sinx)(3 + sinx) “冃,+戸丄”例6 求y = 的最值及相应的a的范2 sin xx的集合。变式：y=x_sinx在，二上的最大值为多少？ 2思维点拨：利用基本不等式求最值时，等号不能取得时，可利用单调性。(四) 巩固练习：141 已知函数y = As in (x )在同一周期内，当x= 时，取得最大值，当x 时,9291取得最小值，则该函数的解析式是(B )22.若方程 cos2x_2.3sinxcosx = k 1 有解，则 k：=-3,1四、小结：(1) 求三角函数最值的方法有：配方法，化为一个角的三角函数，数形结合 法换元法，基本不等式法。(2) 三角函数最值都是在给定区间上取得的，因而要特别注意题设所给出的区间。(3) 求三角函数的最值时，一般要进行一些三角变换以及代数换元，须注意函数有意义的条件和弦函数的有界性。(4) 含参数函数的最值，解题要注意参数的作用和影响。五、作业：
