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1、NRIJIANG NOKM AT.VRRSJTY本科毕业论文题目传染病模型及其应用院咅B数学与信息科学学院专业数学与应用数学指导教师评阅教师班 级姓 名学 号2013年5月1日目录摘要 IAbstract: I1 引言 1.2 模型建立 12.1 SARS 模型的基本假设22.2模型一,SIR模型22.3模型二，基于SIR的改进模型33.模型求解43.1 SIR模型的求解43.2改进SIR模型求解54 结果分析 65 模型的改进与推广 6结束语 6.参考文献6致谢 8.摘要：用数学模型帮助发现传染病的传播机理来预测传染病的发展趋势已成为控制和 预防传染病的主流方法，“非典”给我国社会的发展和人
2、民身体的健康带来了不可估量的损失, 如何进行有效的防治,一直是我国理论专家和实践工作者普遍关心的问题，本文以经典的传 染病模型(SIR模型)为参考，在其基础上进行改进，将总人口划分为以下五类：健康人、 疑似患者、病人、感染后治愈、感染后不治身亡以此建立一个新的SARS模型，该模型描 述了各类人数随时间变化的变化规律通过数值模拟，以及插值的方法，运用Mat lab软件， 分别求解出疑似患者和病人的日接触率，日治愈率和日死亡率.通过曲线拟合发现与实际数 据非常吻合本文最后还通过对参数隔离的扰动方式发现隔离措施对整个“非典”疫情的控制 起着关键性的作用:隔离强度越大,采取隔离措施的时间越早,累计患病
3、人数就越少,疫情就能 越早受到控制.关键字：SIR模型；数值模拟；插值；参数隔离扰动Abstract: SARS to Chinas social development and peoples physical health has brought immeasurable loss, how effective prevention and treatment, has long been the theoretical experts and practitioners are generally concerned about the problem, this paper, the
4、classic epidemic model (SIR model) as a reference, based on its improvement, the total population is divided into the following five categories: healthy people, suspected patients, patients cured after infection after infection and died. in order to establish a new model of SARS, the model describes
5、 the various types of time-dependent changes in the number of law by numerical simulation, and interpolation methods, the use of matlab software, respectively, to solve the suspected contact with patients and patients on the rate cure rate and daily mortality , by the curve fitting the actual data f
6、ound in good agreement with this paper and finally through the parameter perturbation method that isolated quarantine measures for the entire SARS epidemic control plays a key role: the greater the intensity of isolation, quarantine measures taken sooner , the less the cumulative number of patients,
7、 the sooner the epidemic under control.Key words: SIR model；numerical simulation；interpolation； parameters of isolated disturbances1 引言人类历史上曾多次遭受危害及其严重的传染病的威胁。近几年发生的一些传染病， 如非典型性肺炎（SARS）,高致病性禽流感（H5N1）,甲型（H1N1）流感等，均对生命 健康和社会生活造成了很大影响。特别是在2002年冬到2003年春天，SARS传染病突然 侵袭了大半个中国,给国民经济和人民的正常活动都造成了很大的影响， 由于人们对此
8、种 传染病的传播机理还不太清楚， 因而一度引起了人们心理上的恐慌。因此， 预防和控制 传染病的研究就显得极其重要。其实对传染病的描述和预测是人们由来已久的话题， 最 早使用的完全是总结经验型的统计方法。在漫长的研究过程中， 人们不断地吸收最新数 学和物理成果， 使统计方法不断得到改进， 因此这种曾在历史上起过很大作用的方法直 到今天仍然是重要的研究手段2。目前， 对传染病的研究有4 种方法：描述性研究3、分析性研究4、实验性研究5和 理论性研究6。在理论性研究中， 数学模型起着极其重要的作用。它把传染病的主要特 征通过假设、参数、变量和它们之间的联系清晰地揭示出来。数学模型的分析结果能提 供许
9、多强有力的理论基础和概念。用数学模型帮助发现传染病的传播机理， 预测传染病 的流行趋势已成为共识。纵观传染病的数学模型研究， 我们可把它们分为两类：决定性 模型7和网络动力学模型8。目前随着人工智能计算机技术的发展， 网络动力学模型成为 了新的研究热点9-12，但是决定论模型仍然具有非常重要的学术地位。本文主要就决定性 模型介绍了 SIR模型及SIR模型的改进。2 模型建立在建模之前，需要对 SARS 传染病的传播规律进行具体的分析。首先，在不考虑城 市流动人口和被隔离人口的情况下，我们将北京市总人口划分为以下五类：人群中染病 后不治身亡者e、人群中染病后恢复并获得免疫力者r、人群中染病者i、
10、人群中染病后2处在潜伏期者i，并且s + i + i + r + e = 1。1 1 2在 SARS 病毒在北京的传播初期，病毒的高传染性并未显现，而且人们也没有意识 到它的严重性，因而没有采取任何防护措施，小部分人开始被传染并处于潜伏期。当潜 伏期过后，病毒开始爆发，此时的患者与人群接触，导致新一批的人被感染并处于潜伏 期。当发病过后，部分患者得不到及时的医治而死亡。传染病传播的过程反复无常，难以控制，以至于在较短时间内感染人数会迅速增多。 并且，随着时间的推移，发病人数也将不断增加，死亡人数迅速增加。这使得人们对于 病毒开始感到恐慌，造成社会的负面影响。这引起了政府及相关部门的重视，并开始
11、采 取措施。虽然疫情得到了控制，但由于当时没有有效的抗病毒药物，因此疫情只能通过 患者自主愈合和死亡。在该期间内，每天的发病和死亡人数都在不断减少，并最终降为 零。根据上述对SARS传播机制的分析结论，建立如下SARS传播机制的流程图。2.1 SARS模型的基本假设1 ）本文主要考察的是北京地区的疫情变化，且考察的时间相对较短，故我们视人口 总量不变，不考虑人口的出生率和自然死亡率，即为一常数N.2）将SARS的传播途径视为与病人的有效接触，每个健康人变成病人的途径只能是 与病人的有效接触.3）不考虑气候条件对SARS传播的影响.4）为了使模型简化，假设处于同一群体的每个个体与病人的日接触率及
12、有效接触率 相同.5）假设SARS疫情的爆发有个初始时间.2.2模型一，SIR模型在建立改进的SIR模型之前，先对基本的SIR模型进行描述。基于参考文献3中的5.1 传染病模型的模型三（SIR），为了简便起见，考虑九、卩、卩为常数，于是我们得到12了类似于3中5.1传染病模型的方程组：ds 、.=九 si， dt=-ksi -(卩 + 卩)i, 0， i(t) 0， s(t) + i(t) 0;1)模型的数值模拟解由于参考文献35.1节中对于上式的分析太不直观，因而只能得到i关于s的函数而i(t)和s(t)的表达式却很难求出。因此，我们通过参考文献的数据进行求解。首先，我们假定北京市的人口总量为N = 1000000，s = 1000000一877，0 1000000i = 877-(42 + 73)。随后，利用matlab软件处理参考文献4中的数据给出的累计治愈出 0 1000000院人数、累计死亡人数、现有的疑似病例数和累计已确诊病例数的具体数字，得到日死亡率卩=0.00244305，日治愈率
