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1、实变函数与泛函分析概要第一章 集合 基本规定:1、 理解集合的涉及、子集、相等的概念和涉及的性质。2、 掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质。3、 会求已知集合的并、交、差、余集。4、 理解对等的概念及性质。5、 掌握可数集合的概念和性质。6、 会判断己知集合与否是可数集。7、 理解基数、不可数集合、持续基数的概念。、理解半序集和Zo引理。第二章 点集 基本规定：1、 理解维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念。2、 掌握内点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念。掌握聚点的性质。3、 掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质。4、 会求己知集合的开集和导集。5、
2、掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质，掌握一批例子。6、 会判断一种集合是非是开(闭)集,完备集。7、 理解Peano曲线概念。重要知识点:一、基本结论:1、 聚点性质 中T1聚点原则：P是E的聚点 P0的任一邻域内,至少具有一种属于而异于P0的点存在E中互异的点列Pn,使PnP （n) 2、 开集、导集、闭集的性质2 中T2、3T2：设B,则，,。T：(AB)=A .3、 开（闭）集性质(3中1、2、5)T1：对任何ER,是开集,E和都是闭集。(称为开核,称为闭包的理由也在于此)2：（开集与闭集的对偶性）设是开集,则CE是闭集；设E是闭集，则CE是开集。T3：任意多种开集之和仍是开集，有限多
3、种开集之交仍是开集。T4：任意多种闭集之交仍是闭集,有限个闭集之和仍是闭集。:(HeieBrel有限覆盖定理）设F是一种有界闭集， 是一开集族iiI它覆盖了F(即FUi），则 中一定存在有限多种开集U，U2Um,它们同样覆盖了F（即F Ui）(）4、 开(闭）集类、完备集类。开集类:,开区间，邻域、闭集类:R，,闭区间，有限集,、完备集类:R,，闭区间、二、基本措施：1、判断五种点的定义;、运用性质定理，判断导集、邻域等;3、判断开集、闭集；4、有关开闭集的证明。第三章 测度论 基本规定：1、 理解外测度的概念及其有关性质。2、 掌握要测集的概念及其有关性质。3、 掌握零测度集的概念及性质。4
4、、 熟悉开集、闭集、区间、波雷乐集等可测集，掌握一批可测集的例子。5、 会运用本章知识计算某些集合的测度。6、 掌握“判断集合可测性”的措施,会进行有关可测集的证明。 要点归纳：外测度:定义:ERIi（开区间)i E *(E)=if 性质:(1) 0*E+（非负） (2)若A则mA mB(单调性) （)m* (Ai)m*Ai(次可列可加性）可测集:ER 对任意的TR有:m*(T)= m*（TE)+m*(TC)称为可测集,记为m其性质： )T1：E可测 AE BC使*（AB） m*A+ *B )T2：E可测C可测运算性质：设S1、S可测S12可测（T3); 设S、2可测S1S可测 （T）; 设1
5、、2可测S1-2可测 （5）。1、2Sn 可测 可测 (推论)Si可测（7)S1、SSn可测，SiSj=Si可测 m(Si)m（S）(T) S递增,12S3lim(Si)=lim mSi=Ms(T8) i递降可测,S1S2S当S是可测集，称(x）是E上的可测函数可测任意的R E是可测集 任意的R E是可测集 任意的R E是可测集任意的，R E 在E上可测（3） (四则运算)，g在上可测,g，1/ 在E上可测。（4） 极限运算 n是可测函数列，则=inf (）=supn可测(T5）F=li G=n 可测 （5） 与简朴函数的关系:在E上可测总可以表成一列简朴函数n的极限函数 =,并且可以办到13
6、2.opO定理:E0 存在子集EE 使得n在上一致收敛 且m(E-E）3定理：是E上.有限可测函数,任意 闭子集EE使得在上持续 且m(-E）即在E上a.有限的可测函数是:“基本上持续”的函数。4可测函数类：持续函数(T)、简朴函数、R上单调函数、零测度集上函数。5三种收敛之间的关系:（ ER m+)一致收敛测度收敛 几乎到处收敛（Resz:nf 则 if a.于E ） Lesgue：） mE；) 上ae有限的可测函数列;3)fnE 上a.e收敛于ae有限的f f（x） 在此mE条件下,可见测度收敛弱于a.e收敛 补充定理(见复旦3.2 T） Ea 是可测集（2） 集合分解法，E=Ei EiE
7、 在Ei 上可测（3） 函数分解法,可表为若干函数的运算时（4） 几乎到处相等的函数具有相似的可测性（,T)（5） 可测函数类2判断三种函数之间的关系 第五章 积分论 基本规定:1、 理解可测分划、大（小)和、上（下)积分、有界函数可积和L积分的概念。2、 掌握有界函数L积分的性质。3、 理解非负函数L积分与可积的概念。4、 理解一般函数的L积分拟定、积分与L可积的概念。5、 掌握一般函数的积分的性质。6、 掌握L积分极限定理。7、 弄清L积分与积分之间的关系。8、 纯熟掌握计算L积分的措施。9、 会运用积分极限定理进行有关问题的证明。10、 理解有界变差函数的概念及其重要性质。11、 理解不
8、定积分、绝对持续函数的概念及它们的重要性质。Lebe积分1、 Rieann积分 分割、作和、取确界、求极限。2、 Lesgue积分定义：EEi,各Ei互不相交,可测，则称Ei为E的一种分划,记作D=Ei定义:设f是定义在E（m）上的有界函数，=Ei令Bf(x) bi=f（x)大和S(，f）=imi (D，f）小和（D，f)=biEi=(D，f） (D，)S(D，f）定义:设f是定义在ER（)上的有界函数上积分:f(x)dx=inf S（D，f)下积分:f（)dx=u (D，f）若上下积分相等，则称f在E上可积,其积分值叫做L积分值,记(L)E （x)dxT1:设f是定义在ERq(E)上的有界函
9、数,则f在上L可积任意的 0 S(D，）- (D,)T：f在E上L可积f在E上可测 () 对有界函数而言,L可积可测T：f,g有界，在上可测，fg，fg,f/g, 可积T:f在，b上R可积L可积,且值相等 *L积分的性质：T-1(）:f在E上L可积,则在的可测子集上也L可积;反之，EE1E2 12= E1、可测,若在上L可积,则在E上可积Efx=E1fdx+ 2fdx （积分的可加性) (2）f,在E上有界可测(f+g)dx= Edx+Ed (3）任意cR Ecfdx=cEfdx （4)f，在E上L可积，且g 则EfdxEgdx 特别地,bfB dxmE,BE 推论1:(1）当m=0 Efd=0 （2）f=c EfdxcmE(）在E上可积,则f可积，且EfdxEfdxT-（1)设f在E上可积f0 Efd=0则 f= .e于E （2)f在上L可积,则对任意的可测集A属于 使 Afdx=0 （绝对持续性） 推：设f,g在E上有界可积,且=g a.于E 则 EfdxE 证明思路:EE2 EE= E1=f E (-)dx1 E2 (f g)x0 注:）在零测度集上随意变化函数值,不影响积分值,甚至在的一种零测度子集上无定义亦可. 2)从E中除去或添加有限个或可数个点积分值不变
