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1、函数的单调性教学案例及分析 深圳市龙华中学 刘国营 教学过程： 一、创设问题情境 提出问题：学校准备建造一个长方形的花坛，面积设计为16平方米。由于周围环境的 限制，其中一边的长度长不能超过10米，短不能少于4米，求花坛半周长的最小值和最大值。 提出问题后，让学生思考、讨论下列问题：如何把实际问题归结为数学问题？经过思考、讨论，估计学生可以把问题归结为：设受限制一边长为 x米，4x10，则另一边为16/x米，求半周长yx16/x（4x10）的最小值和最大值。如何求最小值和最大值？经过思考、讨论，最后大家一致认为利用yx16/x（4x10）的图像可以得出结论。 多媒体：利用Flash演示yx16
2、/x（4x10）的图像,如图1所示。 设计说明：利用Flash给出函数的图像，从函数图像可以直观地得出结论，但是缺乏理论依据。指出缺乏理论依据的结论是站不住脚的，所以问题转化为寻找其理论依据，从而引入课题。这样可以培养学生严谨的治学态度。 二、学生活动，建构数学 1.几何画板演示，点明课题。 多媒体：利用几何画板演示yx16/x（4x10）的动态的变化过程。用鼠标从 左向 右缓慢拖动yx16/x（4x10）上的A点，引导学生观察A 点的纵坐标的变化情况（随着自变量x的增大，函数值y也在增大），如图2所示。 2.请学生根据自己的理解给出增函数定义。 一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，区间I
3、A，如果对于 区间I 内的 任意两个值x1和x2，当x1x2时，都有f（x1）f (x2) 那么就说函数f(x)在这个区间I上是单调增函数（increasing fuction）。 区间I称为函数f(x)的单调增区间(increasing interval)。 如果对于 区间I 内的 任意两个值x1和x2，当x1x2时，都有f（x1）f (x2) 那么就说函数f(x)在这个区间I上是单调减函数（decreasing fuction）。 区间I称为函数f(x)的单调减区间(decreasing interval) 设计说明：在减函数定义的教学过程中，让学生通过对增函数定义的理解通过类比得出减函数
4、的定义从而得到减函数的定义，培养了学生的类比的重要数学思想方法，对于学生学习新知识、新概念有很大的帮助。 请同学们指出单调性定义中的关键词,通过关键词理解概念，培养同学们的自学能力和学习习惯。三、运用数学：先,通过两个例题加深对单调性的理解和认识.例1 （教材P34例1）画出下列函数图象，并写出函数的单调区间：（1）y=-x2+2 (2)y= 例1引申：函y=1/x在整个定义域上是否为单调函数？ 学生活动得出结论：函数在某个区间上是单调函数，并不能说明函数在整个定义域上也是单调的 巩固练习：课本P37练习第1、2题 点评：对于某些函数，如果能画出其图像，那么寻找函数的单调区间就十分容易了，因此
5、，图像法是求函数单调区间的一种重要方法例2 证明函数f(x)3x2在区间(，)上是增函数。 引申：探索一次函数f(x)kxb(k0)在区间(，)上的单调性。（采用几何画板展示函数图象，可以很清楚发现一次函数单调性与K的关系。） 例3 判断函数f(x)x22x的单调区间，并加以证明。 设计说明：例题的给出由简单的一次函数到二次函数，遵循了学生一般的认知规律，使学生容易接受，易于理解。在二次函数f(x)x22x的单调性的证明中，分工合作，第一、二组的学生完成函数在1，上的证明；第三、四组的学生完成函数在(，1)上的证明，倡导自主学习、合作学习的新的学习方式。通过例1、例2的解决，让学生归纳判断函数
6、单调性的基本步骤，培养学生分析、归纳和总结的能力。 判断函数单调性的基本步骤： 第一步，设x1、x2是区间内的任意两个实数，且x1x2。 （简称：假设）第二步，比较f(x1)、f(x2)的大小。 （比较）第三步，给出结论。 （结论）首尾呼应：自主解决开头提出的问题： 设计说明：有了上述理论作基础，一开始提出的问题就能迎刃而解：证明函数yx16/x在区间4，10上是增函数；得出结论，当x=10时，ymax=11.6。此环节起到了首尾呼应的作用，让学生体会到数学源于生活又服务于生活，体会到数学的魅力，并指出，函数单调性的研究为解决函数的最值问题提供了又一重要方法，可见研究函数的单调性是非常有必要的
7、。那么我们为何不乘胜追击，探索更一般的情况，研究函数y=x+k/x(k)的单调性。 多媒体：利用几何画板进行探索、总结y=x+k/x(k)图像，寻找一般的结果。（从特殊到一般）如图3、4所示。 四、学生总结、教师归纳 教师说明：提出问题，这节课你学到了哪些数学知识？学生一一罗列：函数单调性的概念、判断函数单调性的常用方法、证明函数单调性的基本步骤。进一步提出问题：整堂课体现了哪些重要的数学思维？自问自答：从特殊到一般的研究方法；从大胆的猜想到严格的证明；数形结合、类比的思想。利用计算机使我们探索数学问题的过程更加直观、简洁和生动。 五、作业布置：P43 8。 P37 6、7。 三、案例分析（一
8、）本节课的设计思路1知识目标设计：认识目标：（1）掌握函数单调性的概念；会判断一些简单函数的单调性。 （2）熟练运用函数单调性的概念证明函数在某个区间上的单调性。2、能力目标设计：通过对单调性概念的发生、发展的分析过程，培养学生观察问题、发现问题、提出问题、探究和解决问题的能力以及分析、归纳和总结能力；培养学生数形结合的数学思想。3、情感目标设计：营造亲切、活跃的课堂气氛，实施多元化评价，激励学生，使学生尝试成功，点燃学生的学习热情，培养学生理论联系实际的辩证唯物主义思想。教学重点、难点 重点：函数单调性概念和函数单调性的判断。 难点：判断函数的单调性。 3教学过程设计： 针对本节课教学目标，
9、教学过程分为三个阶段：（1）问题引入阶段：问题的提出具有实际意义，引起学生的兴趣，锻炼学生的观察能力，又直逼主题，学生容易接受。通过图形的直观感觉，给学生函数单调性的感性认识，为突破难点做好铺垫。从而自然导入主题。（2）定义探究阶段：本节课的中心内容，围绕三个问题的提出，对定义进行探究，层层深入，发动学生，分组讨论，积极思考，在巡视过程中，启发引导学生，及时掌握学生的动向，寻求函数单调性规律并形成概念。（3）概念应用阶段：函数的单调性定义应用只设计了问题4，这一过程由学生来完成，使学生自主进行学习，独立探究问题，在解决问题的过程中进行自我评判和调控，会对已有的经验进行反思，总结出解题的步骤和规
10、律。（二）本案例课堂教学的特点1、抓住课堂教学的基本原则(1)主体性原则：尊重学生的主体地位，发挥教师的主导作用，教师创造性地教，学生创造性地学，使教、学的主体共同参与整个教学过程。在本案例课堂教学活动过程中，教师围绕三个阶段，以问题的形式提供给学生，学生主动参与。特别是问题2、3的提出，学生产生许多疑惑，矛盾升级，老师便组织学生开展了互相交流和讨论，适时介入，和学生一起相互启发和梳理，并洞察课堂中发生地各种问题，准确地判断发生问题的原因，能动地、有效地处理这种问题，这一过程体现师生相互平等，教学相长的良好课堂氛围。(2)探索性原则：教师努力使教学活动富有探索性，为学生创设进行观察、探索、发现
11、的学习环境，鼓励学生质疑问难，大胆联想，激发学生的学习兴趣和创造兴趣，引导学生通过亲身体验获取新知，把教学过程转化为学生自觉进行探索新知的过程，使学生积极主动地在学习中体验探索的乐趣。通过对问题2、3的讨论，大部分学生对单调性概念的发生、发展有了较深刻的理解，探索到函数单调性规律并形成了概念。同时培养了学生用数学语言代替文字语言的表达能力，提高对数学美的鉴赏力。这一教学过程使学生认识到看似简单的定义中有很多值得去推敲，去研究的东西，通过对问题的分析、总结，把包含在概念中的复杂和隐蔽的内涵，层层剥离，进行多层面的展开，从而使教学由表及里，深入清晰地揭示出概念的本质。因为学生理解程度的差异，老师提
12、出问题4，这是本节课的亮点，简单的三个判断题，再一次揭示了概念的本质。把函数单调性概念的探究推向高潮，通过反向思维使学生的思维素质得以提升，促使学生能够在获得对概念理解的同时，逐步学会学习和思考，增长经验和智慧。这一部分课堂效果非常好。(3)实践性原则：在教学中要重视理论联系实际，要结合实例进行教学，鼓励学生动口、动脑、动手，让学生参与到数学概念的形成过程；要组织有效的练习，引导学生运用所学到的知识去解决实际问题，使学生获得运用知识的能力。函数的单调性定义应用只设计了问题5，典型的反比例函数，这一过程由学生来完成，但学生的证明过程也存在一定问题，老师再次强调定义，对照解答的层次性，再让学生自主
13、订正，使学生自主进行学习，独立探究问题，在解决问题的过程中进行自我评判和调控，会对已有的经验进行反思、质疑，总结出解题的步骤和规律。问题5的提出起到前后呼应，加深印象、画龙点睛的作用，既是对本节课的反馈，又是引发对本节课的思考。由于时间的关系，课上讨论的并不透彻和完美，但给学生课后进一步的思考、探究留下了空间。(4)激励性原则：要帮助学生实现成功，让学生在学和做中能经常感受到成功的喜悦和愉悦，认识到自身的价值，以此来激励学生的求知欲和成就感，从而培养学生的自尊心和自信心，增强学生的创造动机和创造热情，使学生能不断地追求新知，积极进取，勇于创新。 2、体现能力培养的指导思想概念教学有利于培养学生
14、的发现能力；有利于培养学生的创新精神；有利于培养学生的实践能力。概念教学的基本目标是帮助学生形成概念，而学生形成概念的关键是发现事物的本质属性或规律。发现是创造的一种重要形式，创造需要一种实践活动的过程。现代著名心理学家布鲁纳认为：“发现不限于那种寻求人类尚未知晓的事物的行为，正确地说，发现包括着用自己的头脑亲自获得知识的一切形式。”由此可以看出，学生用自己的头脑去亲自获得知识也是一种发现。在过程中发现，在发现中创新。因此，在数学教学中，教师要努力创造条件，给学生提供自主探索的机会，给学生充分的思考空间，让学生在观察、实验、归纳、分析的过程中去理解数学概念的形成和发展过程，进行数学的再发现、再
15、创造，培养学生的发现能力和创新能力。(三) 本案例课堂教学引发的反思1、概念教学的方法应灵活多样中学数学教材展现在学生面前的往往是由概念到定理，法则再到例题的三步曲，这在一定程度上掩盖了数学概念和思想方法的形成，发展过程，从而也掩盖了数学发现、数学创造、数学应用所经历的思维活动过程，抽象的概念也会给学生造成厌恶的感觉。所以数学概念教学不应简单地给出定义，而应加强概念的引入和概念属性的感知，本案例的引入，从实际生活中提炼，通俗易懂，平易近人。教学时应创设情境，方法灵活多样，激发学生的学习兴趣，让学生积极参与教学活动中来，亲身体验、主动建构，使学生了解知识的发生与发展的背景和过程，使学生对数学的学习感到乐趣。为此，从引进新概念开始就要创造启发式的教学环境，揭示概念的本质属性，并用简单的文字加以表达，在对概念进行结构分析和概念的应用，形成一个生动的概念发生的过程，这一过程需分层次递进，低层次的理
