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1、8.6隐函数微分法8.61由一个方程确定的隐函数定理1（隐函数存在定理） 设（1）函数在点的某一邻域内具有一阶连续偏导数， （2），则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数，它满足，并有。 定理的证明从略，仅就公式作如下推导：F 把代入方程，得， 两端对求导，得， 连续，且， 存在点的一个邻域，在这个邻域内， 。例1验证方程在点的某邻域内能唯一确定一个单值连续且具有连续导数、当的隐函数，并求此函数的一阶导数在的值。 解：设， 则，故由定理1可知，方程在点的某邻域内能唯一确定一个单值连续且具有连续导数、当的隐函数。 ，。方程表示单位圆。从图中直观地可见，只要，则在附近的
2、一段圆弧的方程就可用表示（或）。由可知，当时，；当时，由此可见隐函数存在定理1中条件的重要性。例2求由方程所确定的隐函数的导数。解：设， ， ， 。二、隐函数存在定理2 设（1）函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数， （2），则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件，并有 ， 定理的证明从略，仅就公式作如下推导： 将代入， 得， ， ， 连续，且， 存在点的一个邻域，在这个邻域内， ，。定理3可推广到三个自变量以上的情况。例3设，求，。解法1：令， ， ， 。解法2：， ， ， ，。 。例4设是由方程所确定的隐函数，其中为常数，证明。解：设，则 ， ，
3、， 故。例5设，其中是由方程所确定的隐 函数，求。 解法1：， 设， ， ， 故。解法2：看作方程组的情形。 方程组确定的函数，对求偏导数有 解出， 故。862由方程组确定的隐函数以为例。定理3 设（1）在点的某个邻域内有一阶连续偏导数；（2）行列式 则由方程组在的某一邻域内能确定一组单值连续且具有一阶连续偏导数的函数满足且 定理的证明从略，仅就公式作如下推导： 由于两边对， 在点的某个邻域内， 。同理可得。例6求出方程组所确定的隐函数的偏导数 分析：所求偏导数表明为因变量，为自变量，这里两个方程一共四个变量，只能确定两个隐函数，故，。解法1：将方程组两边对，得，即，用法则解之，得；。将方程组两边对，得，即， ；。解法2：将方程组两边求全微分得到 ，即， ；。 ， ，。例7求出方程组所确定的隐函数的偏导数分析：所求偏导数表明为因变量，为自变量，这里两个方程一共四个变量，只能确定两个隐函数，故，。解：将方程组两边对，得，用法则解之，得； 同法可得，6
