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1、第二节 数学命题的教学 数学中的定义、公理、定理、公式、性质和法则等都是数学命题。由于数学命题是把概念联系起来，形成完整的数学学科的主干内容，因此，只有掌握好数学命题，才能通晓数学的体系结构，学好数学。有效的数学命题教学，有助于学生牢固掌握数学知识的结构，有助于数学思维的发展和解决问题能力的提高。数学命题教学的基本任务，是使学生认识命题的条件、结论，掌握数学命题的内容和表达形式，掌握命题的推理过程或证明方法，运用所学的数学命题进行计算、推理或论证，提高数学基本能力，解答实际问题。并在此基础上，熟悉基本的数学思想和数学方法，弄清数学命题间的关系，把学过的命题系统化，形成结构紧密的知识体系。一.公
2、理的教学数学公理是无条件承认的相互制约的规定，是一些不证自明的命题。在理论形式上，公理是逻辑推理的大前提，是数学需要用作自己的出发点的少数思想上的规定,它们的真实性不是由逻辑推理来确定的，而是经过人类长久以来的实践直接证实的。中学数学中的公理，大多出现在几何教材里。数学中的公理体系，要满足相容性、独立性和完备性。但是，对于中学生来说，完整的数学公理体系内容太多、太深，现行的初中几何教材采取扩大的欧式公理体系，来解决这个矛盾。在这个扩大的欧式公理体系中，所列的公理既有多余的，又有不足的，在独立性和完备性上都是不够严格的。在具体展开时，按照教学内容和学习顺序，根据需要逐步提出来。这样编排教材，既减
3、少了学生学习上的困难，又有利于培养学生的推理能力。既然公理是不加证明的命题，其真实性又是长期生活、生产实践总结出来的，在中学数学中又是证明其他命题的出发点，所以，在教学中应该让学生很好地理解公理的真实性。这就要从日常生活中所熟知的实际事例或从给学生提供的实验资料等直观因素中，归纳地引进公理。1.从学生熟悉的事例归纳出公理。通过学生熟知的社会生活和生产实践中的事例来说明公理的含义和现实来源，使学生体会到公理的真实性和意义。这对于培养学生的辩证唯物主义世界观是有重要意义的。例如，在教学公理“两点确定一条直线”时，可以举出以下学生熟悉的事例：木工通过木板上的两点可以弹出一条直的墨线；园林工人在人行道
4、上植树时，只要先定出两棵树的位置，就能定出一行树所在直线的位置；射击队员将枪上的“缺口”和“准心”两点确定的一条直线，延长后对准目标，即可射击命中；等等。还可在教学中做实验：在黑板上固定一点，可以引出无限多条直线；但再固定一点，两点间的连线就只能有一条，作不出第二条直线来。在此基础上，学生就会自然地用数学中的几何语言归纳出公理“两点决定一条直线，并且只能有一条直线。”2.在学生实践的基础上归纳出公理。例如，让学生用三角板推移的方法作出“过直线外一点且与已知直线平行的直线”；经过实践归纳出公理：“过已知直线外一点有一条直线和已知直线平行”；然后，让学生在原图上将三角板换一个角度再作同样的已知直线
5、的平行线。实践结果表明：两次所画的平行线重合，从而又进一步归纳出公理：“过已知直线外一点只有一条直线和已知直线平行”。综合起来就得出了平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行。3.通过适当的练习，让学生巩固掌握结论、增加对公理认识的现实感，并学会将学到的公理作为演绎推理的依据和出发点，去推理证明其他问题。二.定理的教学数学定理包括代数中的公式、法则和几何中的定理、推论。在定理的教学中，要使学生认识定理的条件和结论；了解怎样探索证明的途径；明确定理的适用范围；掌握相关定理间的内在联系。为了达到上述教学目的，在定理教学中应该注意以下几方面。1.定理的引入。这是定理教学的一个重要环节
6、，这一环节处理的好坏，对培养学生的创新意识和实践能力有直接的影响通过实践、探索、猜想发现命题。在教学中有目的提出一些供研究、探讨的素材，对学生进行必要的启示引导，让学生在一定的情境中独立思考，通过运算、实践或观察、分析、类比、归纳、作图等步骤，探索规律、提出猜想、形成命题，然后再设法证明，获得定理。例如，“三角形内角和定理”，可以通过剪纸法把三角形三内角拼成一个平角或通过三内角的度量计算出三内角的和，从 而发现定理；球的体积公式可以通过细 沙实验来探讨；“两数和的平方公式” 可以通过多项式的乘法进行计算得出， 也可以通过作图（如图4-2），引导学生 分析图形中面积之间的关系得出。（2）通过已学
7、过的定理过渡迁移引入。例如勾股定理表达了直角三角形三边的关系，由此联想到任意的三角形三边之间关系能否用公式表达，从而引出余弦定理的课题。这种引入方法，使学生感到新定理并不孤立，是旧知识的延拓和发展，同时也能培养学生按知识系统和结构去探索新知识的能力。2.认识定理的结构认识定理的结构是证明定理的基本出发点，它的主要任务是帮助学生分辨定理的条件和结论，发掘定理所涉及的概念的特征或图形的性质，利用有关数学符号，把已知和求证确切而简练地表达出来。这一过程就是通常所说的读题、审题和弄清题意。(1)分清定理的条件和结论。中学数学教材中，有些定理仅从字面上看，条件和结论之间没有严格的界线。例如，教学“一元二
8、次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与判别式=b2-4ac的关系”时，一定要指出“a、b、c都是实数”这一条件。尽管初中学生仅限于实数范围学习，这一条件似乎无关紧要，但如果不明确强调，到了高中学生就会错误地利用这一关系去判断复系数一元二次方程的根的情况。又例如以简化式命题形式出现的定理“对顶角相等”，表述简明，但条件与结论不十分明显，初学者往往难以掌握。教学中可以恢复成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，并结合图形，写出已知、求证。(2)正确理解定理中关键词语的意义，将定理的文字语言译成符号语言。简明的符号语言既便于论证，又有助于搞清楚条件和结论。但符号语言的运用必须建立在概念清楚、符
9、号适当的基础上。例如，“非负数a和b”作为一个定理的条件时，要向学生讲清楚“非负数”这一关键词语的意义，并用数学符号“a0，b0”表示。 (3)注意定理的应用范围。定理是在某些条件或范围内的相对真理，条件和范围变了，定理可能成为谬误。例如，算术根的运算法则是以各个算术根存在为前提；对数运算法则必须以各对数有意义为前提；均值不等式必须以非负数为前提等等。此外，还要注意某些定理的隐含条件。3.了解定理证明的思维过程，掌握定理的证明与推导。定理教学的重点在于让学生掌握证明问题的思路和方法，对那些思路、方法和技巧上具有典型意义的要加以总结，以提高学生分析、解决问题的能力。它包括两个方面：(1)使学生了
10、解怎样探索证明途径。在用综合法写出证明过程之前，要使学生明白，这样的证明方法是怎样想出来的。有时教师要作出示范，讲明自己探索证明途径的思维过程。为了培养学生的创新思维和实践能力，最好在教师的启发下，让学生自己去探索。探索证明途径，要灵活运用分析、综合、归纳、演绎、类比等逻辑方法，探索从条件到结论的中间环节。学生已经掌握的证题模式、积累的证题经验，在探索过程中也起着重要作用。探索证明途径，讲明“为什么要这样证”，一般情况下并不需要讲很多话。要在备课时准备好具有启发性、准确、精练的哪几句关键的话和要求学生提出的哪几个问题。有些定理本身就是典型的数学问题，它们的证明方法具有代表性，教学时要帮助学生进
11、行归纳和概括，形成一些有价值的证题模式，这对学生积累证题经验，提高证明能力是有好处的。例如，对数运算性质的证明，采用的是利用指数的性质证明对数性质的方法；等比数列求和公式的推导，使用了“错项相减”的方法等等。(2)使学生掌握定理证明过程中每一步推理的依据。在用综合法将定理的证明过程表达出来时，也就是将证明思路具体化、逻辑化，这是一系列相关的三段论演绎推理过程。在这个推理过程中，要使学生了解每次三段论推理的大前提和小前提。这也是定理证明思维过程不可缺少的组成部分。对初中数学教学来说，这一点尤为重要，它不仅有利于学生对定理的理解，也有利于养成学生言必有据的习惯，发展学生的逻辑思维能力。4.明确定理
12、的应用价值和适用范围，并能灵活运用，不断巩固。学习定理的目的之一在于应用。我们是从定理运用的角度来看定理的适用范围。学生明白了定理适用的范围，可以提高运用定理的目的性和学习的积极性，同时对于学生灵活运用知识、发展思维能力也是有益的。因此，在定理教学中，要注意安排好各类习题，除基本的巩固题、综合题外，还应该适当补充一些逆用、变用定理（包括公式、性质等）的例题和习题，以培养学生活用、逆用的能力。有关这方面的具体例子，将在下一节介绍。5.揭示定理的内在联系，建立数学命题系统化体系。中学数学中的许多定理，彼此联系紧密，但在数学课本中不一定相继出现，有时相距甚远。在教完这些定理之后，应注意及时揭示这些定
13、理之间的内在联系，使学生的知识系统化，形成数学命题体系。这对于学生巩固掌握知识，培养辩证观点都是十分有益的。例如，学习了几何中的相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理以后，可以用运动变化的观点，生动巧妙地阐明它们之间的内在联系，并给予量化，统一成一个圆幂定理。另外，引导学生对某些定理作适当的不同方向上的推广，也是使学生认识定理间的关系的有效方法，同时也有利于培养学生的创新思维和实践能力。例如：公式（a+b）2=a2+2ab+b2，既可以推广项数，将“二数和”推广到“三个数的和”以至“n个数的和”；又可以推广指数，将“平方”推广到“立方”。第一节 数学概念 一.概念和数学概念概念是反映事物
14、本质属性和特征的思维形式。数学概念是反映事物空间形式和数量关系及其本质属性的思维形式。例如“直角三角形”这一数学概念，它反映的对象是三角形，并且有一个内角是直角。这就构成了“直角三角形”这一数学概念的本质属性，即：“有一个内角是直角的三角形。”数学概念的产生和发展有不同的途径。有些数学概念是直接从客观事物的空间形式和数量关系反映得来的。大多数的数学概念是一些数学概念在实践活动基础上，经过逐级抽象过程才产生和发展而成的。近代的许多数学概念如集合、关系、映射、群、环、域等概念的产生和发展过程则更复杂。但是，数学概念无论如何抽象，从本质上讲它们都是现实世界空间形式和数量关系及其本质属性在人的思维中的
15、反映。数学概念是用数学语言表达的，其主要表达形式是词语和符号。一个数学概念，通常用一个词语或符号来表示。例如：“一切实数组成的集合”这个概念，通常用词语“实数集”或符号“R”来表示。用符号来表示数学概念，是数学的重要特征。当然，同一个概念可能有不同的词语表达，例如，“等边三角形”又可表达为“正三角形”。二.概念的内涵和外延概念的内涵是指反映概念中那些对象的本质属性的总和，它是概念质的方面的反映。例如，平行四边形这一概念的内涵，就是平行四边形下列本质属性的总和：两组对边分别平行；两组对边对应相等；一组对边平行且相等；对角相等；邻角互补；对角线互相平分；对角线分得的四个小三角形等积等等。概念的外延
16、是指具有概念所反映的本质属性的全体对象，它是概念量的方面的反映，它揭示概念的使用范围。例如“平行四边形”这一概念的外延，就是指邻边不垂直的平行四边形、矩形、正方形等这一切对象的全体。概念的内涵和外延之间存在着一种称之为“反变”的关系，即当内涵增多时，就会得到使概念的外延集合缩小的新概念；当概念的内涵减少时，就会得到使这一概念外延扩大的新概念。即内涵越多，则外延越小；内涵越少，则外延越大。例如，在“平行四边形”概念的内涵中增加“邻边相等”的属性，就得到了外延缩小的“菱形”概念；在“平行四边形”概念的内涵中减少“两组对边平行”的属性，就得到了外延扩大的“四边形”概念。正有理数扩大外延有理数扩大外延实数扩大外延复数 加入零
