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1、数学思想方法分类讨论思想考点分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学策略分类原则：(1) 所讨论的全域要确定，分类要“既不重复，也不遗漏”；(2) 在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行；(3) 对多级讨论，应逐级进行，不能越级讨论的基本步骤：(1) 确定讨论的对象和讨论的范围(全域)；(2) 确定分类的标准，进行合理的分类；(3) 逐步讨论(必要时还得进行多级分类)；(4) 总结概括，得出结论引起
2、分类讨论的常见因素：(1) 由概念引起的分类讨论；(2) 使用数学性质、定理和公式时，其限制条件不确定引起的分类讨论；(3) 由数学运算引起的分类讨论；(4)由图形的不确定性引起的分类讨论；(5) 对于含参数的问题由参数的变化引起的分类讨论简化和避免分类讨论的优化策略：(1) 直接回避如运用反证法、求补法、消参法等有时可以避开繁琐讨论；(2) 变更主元如分离参数、变参置换等可避开讨论；(3) 合理运算如利用函数奇偶性、变量的对称、轮换以及公式的合理选用等有时可以简化甚至避开讨论；(4) 数形结合利用函数图象、几何图形的直观性和对称特点有时可以简化甚至避开讨论注：能回避分类讨论的尽可能回避基础1
3、. 一条直线过点(5,2)且在x轴，y轴上截距相等，则这直线方程为_2.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形， 则它的体积为_.3.函数f(x)的定义域为一切实数，则实数a的取值范围是_4.数列an的前n项和为Sn2n2n1(nN*)，则其通项an_.例题【例1】在ABC中，已知sinB，a6，b8，求边c的长【例2】解关于x的不等式：ax2(a1)x10(n1,2，)(1) 求q的取值范围；(2) 设bnan2an1，记bn的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小.【例4】已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)x22x.(1) 求函数g(x)的解析式；(2) 若h(
4、x)g(x)f(x)1在1,1上是增函数，求实数的取值范围1. (2009全国)双曲线的一条渐近线方程为3x2y0，则该双曲线的离心率为_2.(2011辽宁)设函数f(x)则满足f(x)2的x的取值范围是_3.(2011江苏)已知实数a0，函数f(x)若f(1a)f(1a)，则a的值为_4.(2010福建)函数f(x)的零点个数为_5.(2011江西)设f(x)x3mx2nx.(1) 如果g(x)f(x)2x3在x2处取得最小值5，求f(x)的解析式；(2) 如果mn0，使得f(x)h(x)(x2ax1)，则称函数f(x)具有性质P(a)设函数f(x)lnx(x1)，其中b为实数(1) 求证：
5、函数f(x)具有性质P(b);(2) 求函数f(x)的单调区间(2011南通)(本小题满分16分)已知各项均不为零的数列an的前n项和为Sn，且满足a1c,2Snanan1r.(1) 若r6，数列an能否成为等差数列？若能，求c满足的条件；若不能，请说明理由(2) 设Pn，Qn，若rc4，求证：对于一切nN*，不等式nPnQnn2n恒成立(1) 解：n1时，2a1a1a2r， a1c0， 2cca2r，a22. (1分)n2时，2Snanan1r，2Sn1an1anr，得2anan(an1an1) an0， an1an12. (3分)则a1，a3，a5，a2n1， 成公差为2的等差数列，a2n
6、1a12(n1)a2，a4，a6，a2n， 成公差为2的等差数列， a2na22(n1)要使an为等差数列，当且仅当a2a11.即2c1，rcc2. (4分) r6， c2c60，得c2或3. 当c2时，a30不合题意，舍去 当且仅当c3时，数列an为等差数列. (5分)(2) 证明：a2n1a2na12(n1)a22(n1)a1a2c2.a2na2n1a22(n1)(a12n)a2a12. (8分) Pnn(nc1) (9分)Qnn. (10分)PnQnn(nc1)nn2n.(11分) rc4， c24， c22， 01，则0c1c2,0c1c. 1，1. 11.(15分) 对于一切nN*，
7、不等式nPnQn0)，且f(1).(1) 求证：函数f(x)有两个零点；(2) 设x1，x2是函数f(x)的两个零点，求|x1x2|的取值范围；(3) 求证：函数f(x)的零点x1，x2至少有一个在区间(0,2)内【例3】如图，直线l：yxb与抛物线C：x24y相切于点A.(1) 求实数b的值；(2) 求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程【例4】已知函数f(x)x|x23|，x0，m，其中mR，且m0(1) 若m1，求证：函数f(x)是增函数；(2) 如果函数f(x)的值域是0,2，试求m的取值范围；(3) 如果函数f(x)的值域是0，m2，试求实数的最小值1. (2011北京)已
8、知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_2.(2011广东)等差数列an前9项的和等于前4项的和若a11，aka40，则k_.3.(2009福建)若曲线f(x)ax3lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_4.(2010天津)设函数f(x)x，对任意x1，)，f(mx)mf(x)0时，2m2m2， m1(6分)当m0，若m0，k1，函数yf(x)kx有两个零点x；(10分)若m0，k1，函数yf(x)kx有两个零点，x；(12分)当k1时，方程(*)有一解44m(1k)0，k1， 函数yf(x)kx有一个零点，x.(14分)数形结合思想考点数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的
