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1、无锡慧源高复 数学模拟试卷8 (考试时间：120分钟 总分：160分)注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1已知集合，集合，则 （第2题）2如图，在复平面内，点对应的复数为，若（为虚数单位），则 3在平面直角坐标系中，双曲线的实轴长为（第5题） 4某校共有教师200人，男学生800人，女学生600人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本，已知从男学生中抽取的人数为100人，那么 5执行如图所示的伪代码，当输入的值分别为时，最后输出的的值为 6甲乙两人下棋，若甲获胜
2、的的概率为，甲乙下成和棋的概率为，则乙不输棋的概率为 7已知直线与圆相交于两点，若，则 8若命题“存在”为假命题，则实数的取值范围是 9（第9题）如图，长方体中，为的中点，三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，则的值为 10已知公差为的等差数列及公比为的等比数列满足，则的取值范围是 11设是上的奇函数，当时，记，则数列的前项和为 12在平面直角坐标系中，已知点分别为轴，轴上一点，且，若点，则的取值范围是 13若正实数满足，则的最大值为 14已知函数（其中为常数，），若实数满足：，则的值为 二、解答题：（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15（本题满分14分）在中，角的
3、对边分别为，向量（1）若，求证：；（2）若,，求的值16（本题满分14分）如图，在三棱锥中，点，分别为，的中点（1）求证：直线平面；（2）求证：17（本题满分14分） 一个玩具盘由一个直径为米的半圆和一个矩形构成，米，如图所示小球从点出发以的速度沿半圆轨道滚到某点处后，经弹射器以的速度沿与点切线垂直的方向弹射到落袋区内，落点记为设弧度，小球从到所需时间为（1）试将表示为的函数，并写出定义域；（2）求时间最短时的值 18（本题满分16分） 已知数列满足，其中是数列的前项和 （1）若数列是首项为，公比为的等比数列，求数列的通项公式；（2）若，求数列的通项公式；（3）在（2）的条件下，设，求证：数列
4、中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积19（本题满分16分） 如图，在平面直角坐标系中， 已知圆，椭圆， 为椭圆右顶点过原点且异于坐标轴的直线与椭圆交于两点，直线与圆的另一交点为，直线与圆的另一交点为，其中设直线的斜率分别为（1）求的值；（2）记直线的斜率分别为，是否存在常数，使得？若存在，求值；若不存在，说明理由；（3）求证：直线必过点20（本题满分16分） 已知函数，（1） 若，求证：（）在的单调减区间上也单调递减；（）在上恰有两个零点；（2） 若，记的两个零点为，求证：数学试题（附加题）21.【选做题】请考生在A、B、C、D四小题中任选两题作答.如果多做，按所做的前两题记分.A（几何
5、证明选讲，本题满分10分） 如图,圆是的外接圆,点是劣弧的中点,连结并延长,与以为切点的切线交于点,求证:.B（矩阵与变换，本题满分10分）已知矩阵的一个特征值为,求.C（坐标系与参数方程，本题满分10分） 在平面直角坐标系中,已知直线与椭圆的一条准线的交点位于轴上,求实数的值.D（不等式选讲，本题满分10分） 已知正实数满足，求证：.22【必做题】（本题满分10分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC = 3，BC = 4，AB = 5，AA1 = 4 （1）设，异面直线AC1与CD所成角的余弦值为，求的值；（2）若点D是AB的中点，求二面角DCB1B的余弦值23. 【必做题】（本题满
6、分10分） 已知，若存在互不相等的正整数，使得同时小于，则记为满足条件的的最大值（） 求的值；（） 对于给定的正整数，（）当时，求的解析式；（）当时，求的解析式高三数学参考答案一、填空题1； 2； 3； 4； 5； 6； 7； 8； 9； 10； 11； 12； 13 ； 14. 二、解答题15. 证明：（1）因为，所以，所以. 7分（2）因为，所以，即，因为，所以，又，所以，则，12分所以. 14分16. 证明（1）点，分别为，的中点，又平面，平面，直线平面 6分（），又，在平面内，平面， 8分平面，为的中点，在平面内，平面， 12分平面， 14分17. 解：（1）过作于，则，所以，7分（写
7、错定义域扣1分）（2），9分记，-0+故当时，时间最短 14分18. 解：（1）因为， ， 2分所以4分（2）若，则，两式相减得，即，当时，两式相减得，即， 8分又由，得，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 故数列的通项公式是10分（3）由（2）得 ，对于给定的，若存在，使得，只需， 即，即，则， 12分取，则， 对数列中的任意一项，都存在和使得 16分19解：（1）设，则，所以 4分（2）联立得，解得，联立得，解得， 8分所以，所以，故存在常数，使得 10分（3）当直线与轴垂直时，则，所以直线必过点当直线与轴不垂直时，直线方程为：，联立，解得，所以，故直线必过点 16 分（不考虑直线与轴垂
8、直情形扣1分）20. 证：（1）因为，所以，由得的递减区间为， 2 分当时，所以在的递减区间上也递减 4 分（2）解1：，因为，由得，令，则，因为，且，所以必有两个异号的零点，记正零点为，则时，单调递减；时，单调递增，若在上恰有两个零点，则， 7 分由得，所以，又因为对称轴为所以，所以，所以，又，设中的较大数为，则， 故在上恰有两个零点 10 分解2：，因为，由得，令，若在上恰有两个零点，则在上恰有两个零点，当时， 由得，此时在上只有一个零点，不合题意；当时，由得， 7 分令，则，当时，单调递增，且由值域知值域为；当时，单调递增，且，由值域知值域为；因为，所以，而与有两个交点，所以在上恰有两个
9、零点 10 分（3）解1：由（2）知，对于在上恰有两个零点，不妨设，又因为，所以，12 分又因为，所以，所以 16 分解2：由（2）知，因为时，单调递增，所以，12 分当时，单调递增，所以，所以 16 分附加题参考答案21.A证明：连结，因为为圆的切线，所以, 又是公共角，所以， 5分所以 , 因为点是劣弧的中点,所以,即. 10分21.B. 解：代入，得 矩阵 5分 10分21.C. 解：直线：， 椭圆:， 5分准线： 由得， 10分21.D.证明：因为正实数满足， 所以，即， 5分 所以因此， 10分22. 解：（）由AC = 3，BC = 4，AB = 5得分以CA、CB、CC1所在直线
10、分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系则(3,0,0)，(0,0,4)，B(0,4,0)，设D(x,y,z)，则由得，而，根据解得，或分（），可取平面的一个法向量为；分而平面的一个法向量为，并且与二面角DCB1B相等，所以二面角DCB1B的余弦值为分（第（）题中少一解扣分；没有交代建立直角坐标系过程扣1分第（）题如果结果相差符号扣分）23. 解：（1）由题意，取，满足题意，若，则必有，不满足题意，综上所述：的最大值为，即 4分（）由题意，当时，设，显然，时，满足，从集合中选出的至多个， 时，从集合中选出的必不相邻，又从集合中选出的至多个，从集合中选出的至多个，放置于从集合中选出的之间， 6分（）当时，取一串数为：，
