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1、06平面向量的数量积及其应用突破点(一)平面向量的数量积1.向量的夹角；2.平面向量的数量积；3.平面向量数量积的运算律考点平面向量数量积的运算1.利用坐标计算数量积的步骤第一步，根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用；第二步，根据数量积的坐标公式进行运算即可.2 根据定义计算数量积的两种思路(1) 若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算.(2) 根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计
2、算求解.典例 设向量a= ( 1,2) , b= (m,1)，如果向量a+ 2b与2a b平行，那么a与b的数量积等于()A.B.(2)在等腰梯形 ABCD中，已知 AB/ DC AB= 2, BC= 1，/ ABC= 60 .点E和F分别在线段 BC和DC 2 1 一 一上，且 BE = 3BC , DF = DC，则 AE AF 的值为.解析(1)a+ 2b= ( 1,2) + 2(m,1) = ( 1+ 2m,4) ,2a b= 2( 1,2) (m,1) = ( 2 m,3),由题1115意得 3( 1 + 2n) 4( 2 m = 0,贝U m= 2，所以 b= 2,1，所以 a b
3、= 1 x 三+ 2X 1= 3. 2 、 . 、 .取 BA , BC 为一组基底，则 AE = BE BA = 3 BC BA , AF = AB + BC + CF = BA+ BC + 12 BA =1272石 BA + BC , AE AF = 3 BC BA7 7 2石 BA + BC =匸|BA|2252厉BA BC + 31BC |2= -x 4 25x 2X 1X 1 + 2= 29 答案(1)D112182318 1)2918易错提醒(1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.(2)两向量a, b的数量积a b与代数中
4、a, b的乘积写法不同，不能漏掉其中的”.L突破点 (二)平面向量数量积的应用平面向量数量积的性质及其坐标表示：模、夹角、a丄b|、a -b |与| a| b|的关系考点一平面向量的垂直问题1.利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题0即可.第一，计算出这两个向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为2 已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数.例1(1) ABC是边长为2的等边三角形，已知向量 a, b满足AB = 2a, AC = 2a+ b,则下列结论正确的是()A. | b| = 1 B . a丄 b
5、C. a b= 1 D . (4a+ b)丄 BC 已知向量 a= (k, 3), b= (1,4) , c = (2,1)，且(2 a 3b)丄 c,则实数 k =()9A. 2 B . 0 C . 3解析(1)在厶 ABC中，由 BC = AC AB = 2a + b 2a = b,得 | b| = 2, A 错误.又 AB = 2a 且| AB | = 2,所以 | a| = 1,所以 a b= | a| b|cos 120= 1, B, C错误.所以(4a+ b) BC = (4 a+ b) b =4a b+ | b| 2= 4x ( 1) + 4= 0,所以(4a+ b)丄 BC ,
6、 D正确，故选 D. (2 a 3b)丄 c,. (2 a 3b) c = 0. v a= ( k, 3) , b= (1,4) , c = (2,1) , a 2a 3b= (2 k 3,6).(2k 3, 6) (2,1) = 0,即(2k 3) X 2 6 = 0. a k = 3.答案(1)D(2)C易错提醒X1y2 X2y1 = 0与X1X2+ y1y2= 0不同，前者是两向量a= (X1 , y , b= (X2 , y2)共线的充要条件，后者是 它们垂直的充要条件.耆点二平面向量模的相关冋题利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1) a2= a a
7、= | a|2； (2)| a b| = ; a b 2= ja22 a b+ b2.n例2(1)(2017 衡水模拟)已知|a| = 1, | b| = 2 , a与b的夹角为,那么|4 a b| =()3A. 2B. 6 C . 2 ：3D. 121已知e1, e2是平面单位向量， 且e1 e2=-.右平面向量 b满足b & = b e= 1,则| b| =,解析(1)|4 a b|2= 16a2+ b2 8a b= 16X 1+ 4 8X 1X 2X cos = 12. |4 a b| = 2 3.312,a I e1| e2|cos12e1, e2 = 60 .又 v b e1 = b
8、 e2= 1 0,b,eib, e2= 30 .由b ei= 1,得 | b| ei|cos 30=1, - | b|看爭答案2(1)C方法技巧厂一一一一一-一一-一-求向量模的常用方法一一-一一-一一-一一 !_ !(1)若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用公式| a| =J x2+ y2.!(2)若向量a，b是以非坐标形式出现的， 求向量a的模可应用公式|a|2 = a2= a a,或| a b| 2= (a土 b)2!=a22a b+ b2,先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解.考点三平面向量的夹角问题求解两个非零向量之间的夹角的步骤第一步由坐标运算或定义计算出这两
9、个向量的数量积第二步分别求出这两个向量的模第三步根据公式cos a, b = -=Xty=.求解出这两个向量夹角的余弦1 a|1 b|#X1+ y1 p X2+ y值第四步根据两个向量夹角的范围是0 ,n 及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角例3(1)若非零向量a, b满足|a|=-|b|，且(a-b)丄(3a+ 2b)，贝Ua与b的夹角为()31 已知单位向量 e1与e2的夹角为 a,且cos a = 3 向量a= 3e 2e?与b= 3e e?的夹角为 卩,3贝 U cos 卩=.2 2解析(1)由(a-b)丄(3a+ 2b)，得(a- b) (3 a+ 2b) = 0,即卩 3a -a
10、 b- 2b = 0.又 I a| =令弓 bl，设a, b = 0，即 3| a|2- | a| b|cos e - 2|b|2 = 0,- 3l b|22；2| b|2 cos e 2| b| 2= 0. - cos e .又00且向量a, b不共线.(2)向量a, b的夹角为钝角？ a b0且向量a, b不共线.I!突破点(三)平面向量与其他知识的综合问题厂平面向量集数与形于二体，是沟通代数、几何与三角函数的二种非常董要的工!一一在高考中，常将它 与三角函数问题、解三角形问题、几何问题等结合起来考查考点一平面向量与三角函数的综合问题例 1已知函数 f(x) = a b,其中 a= (2c
11、os x, 3sin 2 x), b= (cos x, 1) , x R.(1)求函数y=f (x)的单调递减区间；(2)在厶ABC中，角A,B,C所对的边分别为a, b,c,f(A)=1, a= .7,且向量m (3 , sin B)与n= (2 , sin C)共线，求边长 b和c的值.解(1) f (x) = a b= 2cos2x :3sin 2 x= 1 + cos 2 x ,;3sin 2 x = 1 + 2cos 2x + 才,n2k n2 x + 2 k n + nj nnk Z)，解得 k n x k n +(k Z),所以f (x)的单调递减区间为nnkn , kn+ (k
12、 Z).nn(2) v f (A) = 1 + 2cos 2A+ = 1 , cos 2A+ = 1. nn 7 nnn又 0A n,故2A+ V 3, 2A+ =n，即卩 A= ./ a= /7,由余弦定理得 a2= b2 + c2 2bccos A= (b+ c)2 3bc= 7.向量 m= (3 , sin B)与 n= (2 , sin C)共线，所以2sin B= 3sin C.由正弦定理得 2b= 3c,由，可得 b = 3, c = 2.方法技巧厂一一一-一平面向量与三角函数综合问题的类型及求解思路一一一一一一 IIi (1)向量平行(共线)、垂直与三角函数的综合：此类题型的解答一般是利用向量平行(共线)、垂直关系得到三角函数式，i再利用三角恒等变换对三角函数式进行化简，结合三角函数的图象与性质进行求解.|(2)向量的模与三角函数综合：此类题型主要是利用向量模的性质lai2 = a2,如果涉及向量的坐标，解答时可利用两种 |方法：一是先进行向量的运算，再代入向量的坐标进行求解；二是先将向量的坐标代入，再利用向量的坐标运算求解此类题型主要表现为两种形式：利用三角函数与向量的数量积直接联系；利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合.考点二平面向量与几何的
