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1、二次函数的应用(三)教学设计山东省烟台栖霞市蛇窝泊中学 孙绍春一、教材分析二次函数的应用研究抛物线型物体的性质是二次函数的第三个应用，是建立在学生已经初步学会用二次函数解决实际问题的基础之上。本节课“建系”是灵活应用二次函数解决实际问题的一种方法，在此基础上进一步应用二次函数的概念、图象和性质等知识通过建立数学模型解决有关实际问题。本节课设置的问题都是从熟悉的生活场景中抽取的，从“抛物线形大门”到“喷泉设计”再到“铅球比赛”，其本质体现的都是二次函数的应用。二、 学情分析根据皮亚杰的发生认识论原理，初四学生的认知水平已到了形式运演阶段 在这个阶段，学生已形成了完整的认知结构系统，能够提出和检验
2、假设，能监控和内省自己的思维活动，思维具有抽象性、可逆和补偿性 这说明，这一时期的学生应该完全能够自主构建“二次函数”这样的数学模型了本节课的教学内容与学生的生活经历和已有知识储备密切相关，同时九年级学生已具备了一定的分析问题和解决问题的能力，因此采用了“自主探索、合作交流”的教学模式，使学生积极有效地参与到数学活动中去 体现了生命化课堂的理念: 自由、民主、张扬三、教法学法 遵循“教师的主导作用与学生主体地位相统一的教学规律”，采用自主、合作、探究的教学模式，体现学生为主体的课前预习和小组合作学习 四、教学手段利用多媒体、几何画板辅助教学，分散教学难点，增大教学容量，提高课堂教学效果五、学法
3、指导引导学生运用数形结合、转化、数学建模等重要数学思想方法，力求使学生多思、多说、多练以达到最佳的双边活动效果。六、教学目标：1、经历探索生活中抛物线型物体的有关性质的过程，建立二次函数的数学模型，感受数学的应用价值。2、在学习过程中体会数形结合的思想方法和函数与方程的思想方法。3、积极参加数学活动，增进数学交流能力，认识数学与人类生活的密切联系。七、重难点分析：重点：探究应用二次函数的知识解决实际问题的方法。难点：如何从实际问题中抽象出数学问题，建立数学模型。八、 教学流程：因此根据本节课的教学内容，结合学生实际，设计了如此认知过程: 感受背景( 抛物线形大门的情境) 激发需求 ( 数学的刻
4、画抛物线形大门的认知倾向) 形成问题( 如何构建二次函数模型) 探究分析( 联想相关知识，数形结合，实际问题数学化) 数学建构 我认为这种认识过程的层次性的凸现正是遵循认知规律的体现教学过程：教学步骤教师活动学生活动设计目的回顾旧知：情景导入：如图所示抛物线顶点为C,交x轴于A、B，且 AB = 6，OC = 3，此抛物线的解析式为 ， D( m， 2) 在此抛物线上，则 m = ，E( 2，n) 在此抛物线上，则 n = 出示生活中大量应用抛物线的示例图片。我们知道数学源自于生活，在我们周围有很多应用二次函数的现实例子，例如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等等本节课我们来共同探究一下它的具体应用。
5、抢答A、B、C三点的坐标后，学生独立完成。回顾用待定系数法求表达式的方法，以及数形结合思想的运用，为本节的学习做好铺垫。从实物中发现抛物线，感受生活中的抛物线的广泛应用，初步体会二次函数与现实生活的联系。借助于学生已有的知识经验，帮助学生建立新知识与原有认知结构中相应知识之间的联系因此在新授课前利用几分钟做个复习准备工作，也就靠近了学生的最近发展区从学生的实际生活入手，创设问题情境，激发学生好奇心和主动学习的欲望。探索思考：探索思考：议一议归纳总结：同步练习：畅谈收获：当堂检测：小结：课后作业：板书设计： 某公司大门成抛物线形，大门底部AB宽4米，顶部C距地面的高度为4.4米。（1） 试建立适
6、当的直角坐标系，求抛物线对应的二次函数表达式（2） 直角坐标系还有其他建立法吗? 说说不同的方法并比较哪种更恰当?（3）一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.65米，装货宽度为2.4米，那么这辆汽车能否顺利通过大门？（4）如果装货宽度为2.4米的汽车能顺利通过大门，那么货物顶部距地面的最大高度是多少米？（精确到0.01）对于问题（3）组织学生小组内交流。引导问题：汽车要想尽可能的通过大门要怎样走？1、如图 1，假如矩形 FGHE 就是汽车过大门时所处位置的截面图，你认为能通过吗? 为什么?实际生活中是不能通过的，什么理由呢? 点拨：事实上若汽车的宽度满足要求，汽车要能通过，必须满足:
7、 汽车最高处要与大门壁有空隙 因此图 1 是不能通过的根据这一原理同学们可来判断图 2、3 的汽车能否通过了接着我们来思考另外一种情况: 假如满足汽车的高度，能否比较宽度来判断呢? 请看图 4，图 5同学们非常聪明，既然已学会了 2 种判断汽车能否通过的方法，下面我们就可以来顺利完成（3）、（4）引导学生思考问题（4）：为什么选择2.81米，而不取2.82米？回顾这个问题的解决过程，就学生的回答，教师补充，板书一般步骤。如果你是司机，遇到类似的问题应怎样做？引导学生从实际出发，先思考，后决策，以免造成财产损失。在多公园中都有喷水池的存在，你知道它的建造原理吗？运用本节课的知识思考一下。下面我们
8、把它数学化，oooo如图所示，公园要建造一个圆形喷水池，在水池中央O点处建一雕塑OA高=1.25米。水流由雕塑顶端A处的喷头向外喷出，从各个方向呈完全相同的抛物线形状落下。为使水流形状看起来较为美观，设计要求水流在与雕塑OA的距离为1米处达到最高点，这时距水面的最大高度为2.25米。如果不计其他因素，那么水池的半径至少是多少米时，才能使喷出的水流恰好落到水池外的造型池中？引导问题：（1）图中有几条抛物线？（2）要解决这个问题先要怎样做？（3）如何建立坐标系更方便？（4）要求水池半径就是求哪个点的坐标？最后渗透：节约用水教育（1）左边的抛物线怎样求？（2）回顾本节课的两个问题的解法，你能总结出此
9、类问题的一般解法吗？基本思路是：（1） 理解问题，建立适当的直角坐标系，写出关键点的坐标（2） 求出抛物线的表达式（3） 求解（4） 验证结果的合理性（5） 给出结论如图一条隧道的截面由一段抛物线和一个矩形的三条边围成。矩形的长是8米，宽是2米，在如图所示的直角坐标系中，抛物线可以用y=-x2+4表示。1)一辆货运卡车高4米，宽2米，它能通过该隧道吗？2）如果该隧道内的路面为双车道，那么这辆车是否可以通过？同学们，通过本节课的学习，你学到了哪些数学知识和解题方法？还有没有其他的收获？OCByAX如图，一个运动员推铅球，铅球在点A处出手，出手时铅球距地面约三分之五米；铅球落在点B处。铅球运行中在
10、运动员前方4米(即OC=4m)处达到最高点，最高点距地面的高度为3米。已知铅球经过的路线是抛物线，根据图中的直角坐标系，你能算出该运动员的成绩吗？通过本节课的学习，你学到了哪些数学知识和解题方法？还有没有其他的收获？必做题：3.14第2题选做题：3.14第4题课题：二次函数的应用1、 二次函数在拱桥、隧道中的应用2、 二次函数在喷水池中的应用 角色：“我是一名司机”学生读题分析，自己先独立完成（1）集体交流问题（2），体会将实际问题转化为数学问题的模型思想，对比哪种建坐标系的方法是适当的。学生预设： 以AB中点为坐标原点 以A点为坐标原点 以B为坐标原点 以C为坐标原点对比哪种方法更好？学生先
11、独立思考，再小组交流。学生预设：生2: 我认为可以通过的，而且是刚好能过生3: 我认为理论上是能过的，但实际生活中不能过 理由么生4: 老师我知道了，图 1 汽车的顶部刚好碰到大门壁，两者间会摩擦，所以不能过生5: 图 2 汽车不能通过，因为汽车最高处与大门壁没空隙生6: 图 3 汽车能通过，因为汽车最高处与大门壁有空隙生7: 汽车最宽处与大门壁有空隙，所以图 4 能通过生8: 汽车最宽处与大门壁没有空隙，所以图 5 不能通过小组展示：两种方法：【法一】解：（2）当X=1.2时，y=2.8162.8162.65能通过【法二】解：当y=2.65时，2.65=-1.1x2+4.4得：x2=(35/
12、22)X11.26,x2-1.26PQ2.5 2.52.4能通过对于【法二】学生计算时，可能有困难，但要鼓励一题多法。最大限高是2.81米，结合实际，此处应该用去尾法取近似值。角色二：我来设计喷泉从实际问题中抽象出几何图形，观察、思考、动手画图并思考解决问题。学生讲解思路：以水面OC所的直线为 x 轴，柱子OA所在的直线为y轴，O为原点建立直角坐标系，由题意知点A(0,1.25)，顶点B(1,2.25)，设右边抛物线的表达式为：y=a(x-1)2+2.25 将A点的坐标代入得：1.25=a+2.25解得：a = - 1 所以，y = -(x-1)2+2.25令 y = 0, 则：0=-(x-1
13、)2+2.25解得：x1=2.5,x2=-0.5(舍去）即C点的坐标为（2.5,0）所以，水池半径至少需要2.5米。根据抛物线的对称性求出左边表达式学生先独立思考，尝试总结方法结合本节知识方法，学生独立完成。一名学生板演1）卡车可以通过.当x=1时，y=3.75, 3.75242）卡车可以通过.当x=2时，y=3, 324.总结本节课学到的知识、思想方法，以及注意的问题。学生自主分析：先求出抛物线表达式，根据B点的纵坐标求出横坐标，即运动员的成绩。学生独立完成学生总结本节课解决抛物线型物体问题的一般方法和用到的数学思想方法学生板演这个“问题链”是在原问题的基础上，结合学生解决问题的实际能力重新设计的，通过铺设问题“阶梯”，使课堂教学形成有层次结构的开放，使学生在对问题探究中逐渐产生“有阶可上，步步攀登”的愉悦感。利用“几何画板”设计一个探究性活动来突破该难点。“满足宽度比较高度，或满足高度比较宽度”是本题的解决思路，但好多基础一般的同学对于直入主题解决
