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1、课题：复数的代数形式及其运算一教学目标:掌握复数的基本题型，主要是讨论复数的概念，复数相等，复数的几何表示， 计算复数模，共轭复数，解复数方程等。二教学重点：复数的几何表示，计算复数模，共轭复数，解复数方程等。三教学过程:(一)主要知识:1. 共轭复数规律= 或了是纯虚数+ =2. 复数的代数运算规律1)i 4 n =1，i 4n +1 =i ,=+导时有不二？，3=, -1-= oT,h + h+】+ h+2 =0,(k0 的整数)o(3) i n i n + 1+3 = 1 ， i n i n+1 i n+2 in+3=0；(l0 2 = 21,g = r3. 辐角的运算规律(1) Arg
2、 (z z )=Argz +Argz1 2 1 2I-吋=|勺+砂0严=肚（入 R,且入尹0）O对应向量ON丄0Z2 o4. 根的规律：复系数一元n次方程有且只有n个根，实系数一元n次方程 的虚根成对共轭出现。5. 求最值时，除了代数、三角的常规方法外，还需注意几何法及不等式|z | |z |W|z 土z |W|z | + |z 丨的运用。1 2 1 2 1 2即|z 土 z |W|z | + |z |等号成立的条件是：z ,1 2 1 2 1 且同向。|z 土 z |$|z I |z |等号成立的条件是：z ,1 2 1 2 1 且异向。（二）范例分析I .2004年高考数学题选1.（200
3、4 高考数学试题（浙江卷， 6）已知复数 z=3+4i, 1 数，则实数 t=（）A. 3B. 4C. 4433z 所对应的向量共线2z 所对立的向量共线2z=t+i,2且z z是实12D.2.（2004年北京春季卷，2）当2 m 0),求证：分析令z二ax+byi, z二二bx+ayi (a, b, x, yWR+),则问题化归为证明:12| z l + l z | $r (a+b)。12证明设z 二ax+byi, z 二bx + ayi (a, b, x, yUR+),贝I12解如图所示，设点 Q，P，A 所对应的复数为:zQ =x0 +yob zp = x+ yi, % = ?狈U向量曲
4、对应的复数zjj = (x -3a) +yi向量必对应的复数忑矗=坯- %) +yoi由向量AQ绕定点A按I帧时针方向舞而得到AP,得卫蜩* ( -0= ZAP即(x - 3a+y i) ( - i) = (x- 3a+yi)00由复数相等的定义得|x0 = 3a-y|y0 = x-3a而点( x ，y )在双曲线上，可知点 P 的轨迹方程为00Cy-3a) 2 _ (x - 3a) 2 _ d1【说明】将复数问题化归为实数、三角、几何问题顺理成章，而将实数、三 角、几何问题化归为复数问题，就要有较强的联想能力和跳跃性思维能力，善于 根据题设构造恰到好处的复数，可使问题迎刃而解。2分类讨论思想
5、 分类讨论是一种重要的解题策略和方法。在复数中它能使复杂的问题简单 化，从而化整为零，各个击破。高考复数考题中经常用到这种分类讨论思想方法。【例5】(1990 全国理)设a$0,在复数集C中解方程z2 +2|z|二a。 分析一般的思路是设z=x + yi (x， yWR),或z=r (cos0 +isin0 ),若由 z2 +2|z|二a转化为z2二a 2|z|，则z2 UR。从而z为实数或为纯虚数，这样再 分别求解就方便了。总之，是一个需要讨论的问题。【解】解法一Tz2二a 2|z| UR,z为实数或纯虚数。问题可分为两种情况：(1)若zUR,则原方程即为|z| 2 +2|z| -a=0,z
6、 = c -1 + 71 + a) Ca0)(2)若z为纯虚数，设z=yi (yUR且yH0),则原方程即为|y| 2 - 2|y| + a=0当 a=0 时， |y|=2 即 z=2i。当0VaW1时，1引=1 士疔葛.z= (-1 TF7!) 1 或z= Ci TPI) 1；当a1时，方程无实数解，即此时原方程无纯虚数解。 综上所述，原方程：当a=0时，解为z = 0或z=2i解法二设Z二x + yi, x, yWR，将原方程转化为3数形结合思想 数与形是数学主要研究内容,两者之间有着紧密的联系和互相渗透、互相转 化的广阔前景,复平面的有关试题正是它的具体表现。运用数形结合思想与方法 解题
7、是高考考查的热点之一,应引起注意。【例6】已知|z|=l,且z5 +z = l,求z。【解】由z5 +z=1联想复数加法的几何性质，不难发现z, z5 , 1所对应的 三点A, B, C及原点O构成平行四边形的四个顶点，如图所示，由|z5|=|z|5 = l=|z|,可知ZYAOE为等边三角形，易求得E二+丰1,当对应的点A在实轴下方时，z =【说明】这样巧妙地运用联想思维，以数构形，以形思数，提炼和强化数形 结合的思想方法，有利于培养学生思维的深刻性。3_【例7】复平面内点A对应复数z,点B对应复数为匸z , O为原点，AAOB6n是面积为5的直角三角形，argze（O,），求复数z的值.【
8、分析】哪一个角为直角，不清楚，需要讨论3_【解】因10A| = |z|5|z| = |0B|，故ZA不可能是直角，因 5而可能 ZAOB=90 或ZAB0=90.若ZAOB=90，示意图如图1所示.因z与_所对应的点关 于实轴对称，故argz=45,aob=2|OA| OBz L 3l_l=i0|z|2=5 于是，Z=2, 从而，z=2(cos45 +isin45 )=2+#2i.若ZABO=90，示意图如图2所示.因z与z所对应的点 关于实轴对称，且ZAOB90，故argz=0 !；=- * 1 * |a| * sin 9 = sin 9显然$在P|唱+*叫=在啤 iOAPi 一 sm B从而 2sin8 =2.-.sine =1,即 B =y. e e （0, 2兀）b因此有 a=2i。5整体处理思想 解复数问题中,学生往往不加分析地用复数的代数形式或三角形式解题。这 样常常给解题带来繁琐的运算,导致解题思路受阻。因此在复数学习中,有必要 提炼和强化整体处理的思想方法,居高临下地把握问题的全局,完善认识结构, 获得解题的捷径,从而提高解题的灵活性及变通性。【例9】已知z=2 i,求z6 - 3z5 +z4 +5z3 +2的值。分析】如果直接代入，显然比较困难，将 z 用三角式表示也有一定的难度。从整体角度思考，可将条件转化为（z- 2） 2
