海南省高三上学期期末考试数学理试题解析版

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1、海南省2017-2018第一学期高三期末考试数学（理科）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 因为，所以，又因为，故选A.2. 设复数（是虚数单位），则在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】，所以复数对应的点为，故选A.3. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.8【答案】B【解析】随机变量服从正态分布，所以曲线关于对称，且，由，可知，所以，故选B.4. 九章算术中有这

2、样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，问若聘该女子做工半月（15日），一共能织布几尺（ ）A. 75 B. 85 C. 105 D. 120【答案】D【解析】设第一天织尺，第二天起每天比前一天多织尺，由已知得 ，故选D.【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前 项和的关系.5. 已知双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，则双曲线的离心率

3、为（ ）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】根据椭圆可以知焦点为，离心率，故选B.6. 已知，则它们的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为，故选C.7. 如图，给出了一个程序框图，令，若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据程序框图可知函数解析式为不等式等价于或或，由上述三个不等式组可解得或的取值范围为，故选D.8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据三视图可知几何体是组合体：上面是半个圆锥（高为圆柱的一半），下面是半个圆柱，其中

4、圆锥底面半径是，高是，圆柱的底面半径是，母线长是，所以该几何体的体积，故选B.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.9. 函数的对称中心是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，设是奇函数，其图象关于原点对称，而函数的图象可由的图象向右平移一个单位，向下平移两个单位得到，所以函数的图象关于点对称，故选C.10. 的

5、展开式中含的项的系数为（ ）A. -1560 B. -600 C. 600 D. 1560【答案】A【解析】的项可以由或的乘积得到，所以含的项的系数为，故选A. . . . . .11. 某几何体的直观图如图所示，是的直径，垂直所在的平面，且，为上从出发绕圆心逆时针方向运动的一动点.若设弧的长为，的长度为关于的函数，则的图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】如图所示，设，则弧长，线段，作 于 当在半圆弧上运动时， ，即，由余弦函数的性质知当时，即运动到点时有最小值，只有选项适合，又由对称性知选，故选A.12. 过点作抛物线的两条切线，切点为，则的面积为（ ）A. B. C.

6、 D. 【答案】B【解析】设抛物线过点的切线方程为，即，将点代入可得，同理都满足方程，即为直线的方程为，与抛物线联立，可得 ，点到直线的距离，则的面积为，故选B.【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及弦长公式与点到直线距离公式，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知平面向量与，则与的夹角为_【答案】【解析】， ，与的夹角为，故答案为.14. 若直线的倾斜角为，则_【答案】【解析】由直线的

7、倾斜角为知， ，故答案为.15. 若实数满足不等式组，则的最小值为_【答案】3【解析】可行域如图所示的三角形区域，设，而的几何体意义表示动直线在轴上的截距，由图知，当过可行域内的点时，取得最小值，故答案为.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.16. 已知点是直线上一动点，是圆的两条切线，为切点，若弦的长的最小值为，则的值

8、为_【答案】【解析】圆的圆心，半径是，如图所示，根据圆的性质知，当取得最小值时，取得最小值，即有，此时圆心到直线的距离就是的最小值，故答案为.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知在中，角的对边分别为，且满足.（1）若，求角；（2）求的最小值.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）由，根据正弦定理得，化为，所以，结合，可求得，从而可得结果；（2）根据（1）可知，即，由余弦定理得 ，根据基本不等式可得结果.试题解析：（1）因为，由正弦定理得，所以，即，所以，又，所以，所以在中，.（2）根据（1）可知，即，由余弦定理得 （当时取等

9、号），所以.18. 某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动.为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为）进行统计.按照，的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在，的数据）.（1）求样本容量和频率分布直方图中的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设表示所抽取的3名同学中得分在的学生个数，求的分布列及其数学期望.【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）根据频率=频数/样本容量，可得，再根据频率之和为1，可

10、求的值；（2）首先确定的可能取值为1，2，3，基本事件的总数为，求出相应的概率列出分布列.试题解析：（1）由题意可知，样本容量，又由，得；（2）由题意可知，分数在有5人，分数在有2人，共7人，抽取的3名同学中得分在80,90）的学生个数的可能取值为1，2，3，则，的分布列为123.考点：1.频率分布直方图；2.古典概型及离散型随机变量分布列的求法.19. 设数列满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）若表示不超过的最大整数，求的值.【答案】(1)；(2)2016.【解析】试题分析：（1）构造，可证明数列是为首项为公差的等差数列，故 ，根据累加法可得数列的通项公式；（2）由（1）可得，利用裂项相

11、消法可得 ， .试题解析：（1）构造，则，由题意可得 ，故数列是4为首项2为公差的等差数列，故 ，故，以上个式子相加可得 （2）， 则 .【方法点晴】本题主要考查根据递推公式求数列的通项，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.20. 如图，是一个半圆柱与多面体构成的几何体，平面与半圆柱的下底面共面，且，为弧上（不与重合）的动点.（1）证明：平面；（2）若四边

12、形为正方形，且，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：（1）由平面，可得，由是上底面对应圆的直径，可得，根据线面垂直的判定定理可得平面；（2）以为坐标原点，以 为轴，过作与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量垂直数量积为零，列方程组分别求出平面与平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得面角的余弦值.试题解析：（1）在半圆柱中，平面，所以.因为是上底面对应圆的直径，所以.因为，平面，所以平面.（2）以为坐标原点，以 为轴，过作与平面 垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系.如图所示，设，则，.所以，.平面的一个法向量.设平面的一个法向量，则，令，则，

13、所以可取，所以.由图可知二面角为钝角，所以所求二面角的余弦值为.【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.21. 已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从，上分别取两个点，将其坐标记录于下表中：3-240-4（1）求的标准方程；（2）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的

14、垂直平分线过定点，求实数的取值范围.【答案】(1)：.；(2).【解析】试题分析：（1）先分析出点，在抛物线上，点，在椭圆上，利用待定系数法可得到的标准方程；（2）设，将代入椭圆方程，消去得，利用韦达定理以及中点坐标公式可得线段的垂直平分线的方程为，由点在直线上，得，结合判别式大于零可得实数的取值范围.试题解析：（1）设抛物线，则有，据此验证4个点知，在抛物线上，易求.设，把点，代入得：，解得，所以的方程为.（2）设，将代入椭圆方程，消去得，所以，即.由根与系数关系得，则，所以线段的中点的坐标为.又线段的垂直平分线的方程为，由点在直线上，得，即，所以，由得，所以，即或，所以实数的取值范围是.22. 已知函数与函数的图像有两个不同的交点，且.（1）求实数的取值范围；（2）证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）函数与函数的图象有两个不同的交点等价于；方程有两个不同的根，设，利用导数研究函数的单调性，结合函数图象可得出实数的取值范围；（2）根据（1）可知，设利用导数可得在上单调递增，当时，即，所以，从而可得结论.试题