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1、第二章平面力系的平衡计算概述作用在物体上各个力的作用线若都处在同一平面内 ，则这些力所组成的力系称为 “平面力 系”.平面力系中包含两种最基本的力系： 平面汇交力系和平面力偶系。除平面基本力系之外的 平面力系，统称为平面一般力系。平面任意力系在工程实际中应用最为常见，许多实际问题都可以简化为平面力系来处理。 本章主要研究平面基本力系的合成与平衡、平面任意力系的简化和平衡、物体系统的平衡问题， 并介绍静定与超静定问题及摩擦问题的概念。第一节平面汇交力系的合成与平衡平面力系中，若力的作用线在同一平面内且汇交于一点，这样的力系叫做 平面汇交力系。图2-1表示用钢索吊起重物，铁环 A受到三个力Fti、
2、Ft2和Ft3的作用，三力作用线汇交于 A点，构成平面汇交力系。一、平面汇交力系合成与平衡的几何法1、平面汇交力系合成的几何法如图22（a），设刚体上作用有三个力Fi、 具体做法是：（1）选定比例尺，沿Fi方向作有向线段ab表示力 Fi.a为Fi始端,b为Fi终端（图2-2b）。由b点按同 样比例尺沿F2方向作有向线段bc表示F2。（2）连ac,矢量ac就是力Fi、F2两力的合力 FRI2，由比例尺可量出它的大小。（3）由c作有向线段cd,其大小为F3的数值，方 向沿F3o 连ad有向线段ad就是合力Fr。实际上，通常只是求三力合力 Fr,因而Fi、图F2两力的合力FRI2可不必作出。这样只要
3、将力系中的各力矢量首尾相接得一开口多边形，最后 由第一力矢量的始端到最后一力矢量的终端连一矢量，即开口多边形的封闭边就是平面汇交力系 的合力。根据一般规律，可以将上述方法推广到由n个力组成的平面汇交力系的情况，得到如下结 论：平面汇交力系的合成结果为一合力，合力的作用线通过力系的汇交点，合力的大小和方向 等于以各力为边的力多边形的封闭边。这种用几何作图法求平面汇交力系合力的方法称为力的多边形法。平面汇交力系的合力也可用矢量求和的形式给出：个人收集整理勿做商业用途FR = F1+F2+F3+ Fn 二匸 F(2 - 1)用力多边形法求合力时要注意：要按同一比例尺画各力，力的方向要正确；各力相加的
4、次序可以不同，但一定要使力矢量 首尾相接；合力矢量一定是第一力的始端，指向最后一力的末端；合力的大小和方向(Fr与水平方向的夹角)可以从图中直接量取(FR的量取值需乘以比例尺)， 也可用几何及三角中的公式，如正、余弦定理等求解。2、平面汇交力系平衡的几何条件由于平面汇交力系的合成结果为一合力，因而刚体在平面汇交力系作用下平衡的充分必要 条件是：汇交力系的合力为零。以矢量的形式表示为：Fr = 0 或刀 F = F1+F2+F3+ Fn = 0(22)因为平面汇交力系的合力可由力多边形的封闭边表示，若力系为平衡力系，则封闭边长度为零.这说明平面汇交力系平衡的几何条件是：力多边形自行封闭，即力系中
5、各力首尾相接构成一封闭多边形平面汇交力系的平衡条件可以用来求约束反力。例2 1如图2 3,起重机横梁AB与拉杆BC用铰链连接，并用固定铰支座连接在竖直壁 上。已知Fp = 1000N,作用于梁AB中点，梁及拉杆的自重不计，求 B、C及A处的约束反力。解：(1)取AB梁为研究对象。AB梁受有重物Fp的作用，B处受BC杆的作用，BC杆为 二力杆(受拉)，因而AB梁在B处受到的约束力Ft沿BC杆方向，由B指向C ,并与Fp的作用 线交与一点OAB梁在A处受有约束反力Fa，由三力平衡汇交定理可知，Fa作用线通过0点沿 A0方向。所以AB梁在平面汇交力系作用下平衡。(2) 画AB梁受力图，见图2-3 (
6、b);(3) 画力多边形，求解未知量。由于平面汇交力系平衡时 ，力多边形自行封闭，所以按比 例尺先画出ab = Fp，由Ft、Fa与Fp夹60角，画出封闭三角形如图2-3 (c)所示，根据力矢 量首尾相接的原则定出Fa的指向为从A指向O。显然, abc为等边三角形，Fa= Ft = Fp = 1000N， 方向如图由上例可以总结出利用平衡的几何条件解题的步骤 ：1、由题意选取适当的平衡物体作为研究对象；2、画该物体的受力图。分析研究对象的受力情况，画上主动力.根据约束的性质及利用二力 平衡公理和三力平衡汇交定理画约束力；3、 作力多边形。先画已知力，根据平衡的几何条件使力多边形封闭，就可以得到
7、表示未知 力大小和方向的向量线段；4、用比例尺、量角器或三角公式确定未知力的大小和方向二、平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法，是通过力矢量在坐标轴上的投影来分析力系的合成及其 平衡条件。1、平面汇交力系合成的解析法：利用力在直角坐标系上的投影，计算其合力的大小，确定合力的 方向。设由n个力组成的平面汇交力系作用于一个刚体上，以汇交点0作为坐标原点，建立直角坐标系xOy,如图2-4所示。根据力的投影规律及合力投影定理可知，合力Fr的大小为：FrfRxFRyFx 2Fy 2(2 - 3)合力Fr的方向为:tanF RxFya为Fr与x轴的夹角图2、平面汇交力系平衡条件的解
8、析形式：前面已指出，平面汇交力系的充要条件是该力系的合力为零，即Fr= 0。由式23可知，要使Fr . Fx 2 Fy 20，必须也只须：(2 - 4)Fx0Fy 0即平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中所有力在直角坐标系xOy中各轴上投影的代数 和分别等于零3、平面汇交力系合成与平衡解析法的应用平面汇交力系合成与平衡的解析法是求解静力学平衡问题的基本方法。以下举例说明它的应用。例2-2固定于墙内的环形螺钉上，作用有 3个力Fi、F2、F3,各力的方向如图2 5所示, 各力的大小分别为Fi=3kN，F2=4kN，F3=5kN。试求螺钉作用在墙上的合力.解：从图2-5(a)中可以看到，三个力Fi
9、、F2、F3属平面汇交力系，汇交点为 0。显然，它们 合成的结果是一个合力。因此，用力在坐标轴上投影的方法解此题较方便，坐标系原点就选择 在汇交点0处。见图24 (b)，显然：图RxFxF ixF2x F3x 0 4 5 cos30FyF1 yF2yF3y3 0 5 sin308.33kN0.5kN由此可求出合力Fr的大小和方向。由式2 3得到:Fr 蔦 FRy、8.332 ( 0.5)2 8.345kNtanFRyFRx8.330.06,3.6由于Fx为正值，而Fy为负值，所以Fr在第四象限。例2-3如图2 6(a)所示，已知圆球重G=100N，不考虑摩擦，试求绳和斜面的约束反力。解：取圆球
10、为研究对象，画受力图。圆球受力有重力G、绳的约束力Ft、和斜面的约束力Fn,这些力形成一平面汇交力系，见2 6 (b)。选择坐标系Oxy，列平衡方程：Fx 0, Ft Gsin300Fy 0, Fn Gcos30 0o解得:Ft Gsin30100 sin3050NFn G cos30100 cos3086.6N此题若选择图2 6(c)所示的坐标系Oxy，贝U应列出的平衡方程为:Fx 0,Ftcos30 Fn sin 300Fy 0, Ft sin30 Fn cos30 G 0在这种情况下，每一个平衡方程均有两个未知力，只能联立求解，才能得到本题的答案。由此可见，选择垂直于未知力的投影轴，会使
11、计算更简便。例2-4 图 2-7 为一起重装置，吊起重物 G=2kN，/ CAD=30 , / ABC= 60,/ ACB= 30，求杆AB和AC受的力。图解：首先分析各部分受力情况。AB、AC杆为二力杆，分别受拉、受压，杆端约束沿杆轴 线；滑轮受到AB、AC杆的作用力及绳索的作用力，不计摩擦，Ft1= Ft2=G.由于滑轮半径很小因而可近似认为滑轮所受力系为平面汇交力系。(1) 以滑轮A为研究对象，画它的受力图(图27c);(2) 建立坐标系，以A为原点，x轴与未知力Ftba垂直；(3) 列平衡方程并求解：由刀 Fx= 0：Ftca Ft2cos30 Ft1cos30 = 0,将 Ft1=
12、Ft2=G 带入，则Ftca= 2G cos30 = 3.46kN;由刀 Fy= 0: Ftba+ Ft2cos60 Ft1 cos60 = 0,将 Ft1= Ft2=G 带入，则Ftba = 0即：杆AB不受力，杆AC受压力3。46kN。由以上例子总结出用解析法解平面汇交力系的平衡问题的步骤： 对系统各部分进行分析，确定研究对象，画受力图。有时只取一个研究对象不能把欲求 的未知力确定下来，因而要找几个不同的研究对象 ； 建立坐标系选择适当的坐标系，可以使解题简单。例如，可使坐标系与某一未知力垂直 列平衡方程并求解。注意各力在坐标系的投影的正、负号。第二节平面力偶系的合成与平衡作用在物体上同一
13、平面内的若干力偶，统称为 平面力偶系。1、平面力偶系的合成设一平面内作用两个力偶(F1、F1)及(F2、F2),如图28 (a)所示。根据力偶的性质 可将两个力偶等效地换成力臂相等的两个力偶，然后在平面内平移，从而得到图28 (b)所示的 两个力偶(P1、P1)及(P2、P2)，并且：Mi( Pi、Pi ) = Pid = Fidi M2 ( P2、P2 ) = P2d = F2d2由于Pi、P2与Pi、P2分别共线，故可求出其合力为：R= Pi+ P2R = Pi + P2R、R构成一力偶，如图28 (c)所示，它的力偶矩为：M = Rd = (Pi+ P2) d= Pid+ P2d= Mi
14、+ M2即同一平面内两个力偶的合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。一般地，设平面上有n个力偶作用,力偶矩分别为Mi、M2Mn,则合力偶的力偶矩为：M = M i+ M2+Mn =刀M(2- 5)这就是平面力偶系的合力矩定理：平面力偶系可合成为一个合力偶，合力偶矩等于力偶系各力偶矩的代数和2、平面力偶系的平衡条件平面力偶系合成结果为一力偶，若此力偶矩为零，则系统平衡。故平面力偶系平衡的充分 必要条件是：力偶系中各力偶矩的代数和为零。即：刀 Mi = 0(2 - 6)例2 5用多轴钻床在水平工件上钻孔时，每个钻头对工件施加一压力和一力偶。如图 2 9所示，已知图中三个力偶分别为 Mi=iONm, M2
15、=iONm, M3=20Nm,固定螺栓A和B之间的 距离L=0。2m,求螺栓受到的水平力。1(0 )1图解：(1)取工件为研究对象，分析其受力情况工件在水平面内受有三个主动力偶和两 个定位螺栓的水平反力，在它们的共同作用下处于平衡。根据力偶的性质，反力Fna与Fnb必然 组成一力偶，且与上述三个力偶相平衡。(2)列平衡方程 由刀Mi = 0:FnaL MiM2 M3= 0F NA10 10 2002200(N)F NB方向如图所示而螺栓所受之力与该两力大小相等，方向相反。例2-6 梁AB受力偶作用，如图210所示。已知Mi=200kNm,M2=100kNm,梁跨长L=5m， 求A、B支座反力。J 牟 9 L9
