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1、几个抽样分布的性质及其应用重庆师范大学涉外商贸学院 数学与应用数学（师范） 2008 级 阮国勇指导老师 陈勇摘要 在概率论中，我们是在随机变量的分布是假设已知的前提下去研究的；而 数理统计中，随机变量的分布是未知或不完全知道。我们通过对随机变量进行重 复独立观察得到许多观察值，并对观察值的数据进行分析，从而对所研究的随机 变量的分布做出推断。本文介绍三种重要的抽样分布及其性质，并给出了抽样分 布在参数估计、假设检验、分布拟合检验的简单应用。关键词 抽样分布；X 2分布；F分布；F分布Abstract In the theory of probability, we are in the di
2、stribution of random variable is assumed known base on the research, however, in the mathematical statistics, random variable distribution is unknown or incompletely known. we base on the random variables are independent observations are repeated many observed value, and the observation data analysi
3、s, to study the distribution of random variable to make inference. This paper introduces three kinds of important sampling distribution and its properties, and gives the sampling distribution in parameter estimation, hypothesis testing, fitting of distribution of the simple application.Key words sam
4、pling distribution, x 2 distribution, t distribution, F distribution第 1 页 共 13 页目录1 引言 42 几个有关概念2.1 总体、个体 42.2 简单随机抽样 42.3 统计量 52.3.1统计量的定义 52.3.2常用统计量 52.4 自由度 52.5 抽样分布 63 常用抽样分布及其性质3.1 X2 分布63.1.1 X2分布的定义 63.1.2 X2分布的性质 63.2 t 分布 73.2.1 t 分布的定义 73.2.2 t 分布的性质 73.3 F 分布 73.3.1 F 分布的定义 73.3.2 F 分布的
5、性质 74 几个常用抽样分布的应用4.1 X 2分布的应用 84.1.1 X 2 分布在参数估计中的应用 84.1.2 X2分布在假设检验中的应用 84.1.3 X 2 分布在分布拟合检验中的应用 84.2 t 分布的应用 94.2.1 t 分布在参数估计中的应用 94.2.2 t 分布在假设检验中的应用 94.3 F 分布的应用 104.3.1 F 分布在参数估计中的应用 104.3.2 F 分布在假设检验中的应用 115 总结 116 致谢 127 参考文献 131 引言数理统计中的统计估计与推断需要我们进行抽样估计，样本是统计估计和推 断的依据，然而，在处理具体的理论与应用问题时，却很少
6、直接利用样本，而利 用他们经过适当处理导出来的量，这个量即统计量，统计量的分布称为抽样分布， 三大分布都是在正态分布产生的，他们是正态总体统计估计和校验的基础。我们 研究抽样分布问题中会遇到这些问题：总体的分布类型已知，但总体中的一个或 多个参数未知；总体的分布类型只知其形式，但不知总体中的参数；总体的分布 类型完全未知，总体中的参数也未知。本文对于这些问题我们用三大抽样分布有 关知识去解决。2 几个有关概念2.1 总体、个体在数理统计学中，我们把试验的全部可能的观察值称为总体；而把每一个可 能观察值称为个体。总体所含个体的数量称为容量，容量为有限的称为有限容量， 容量为无限的称为无限容量。例
7、如：在研究某批灯泡的平均寿命时，该批灯泡的全体就组成了总体，而其 中每个灯泡就是个体；在研究重庆师范大学涉外商贸学院男大学生的身高和体重 的分布情况时，该校的全体男大学生组成了总体，而每个男大学生就是个体。2.2 简单随机样本设（X ,X，,X ）是来自总体X的容量为n的样本，若X ,X，,X相互1 2 n 1 2 n独立且与总体 X 具有相同的概率分布，我们称（ X ， X ， X ）为总体 X 的一1 2 n个简单随机样本。获取简单随机样本的方法称为简单随机抽样。具体的说，所谓 简单随机抽样是指在抽样试验中，每个个体被抽到的机会是均等的，并且每次抽 取后，总体的成分保持不变。2.3 统计量
8、2.3.1 统计量定义设(X ,X，,X )是来自总体 X的一个样本，g ( X ,X，,X )是1 2 n 1 2 nX ,X，,X的函数，若g为实值函数，且g中不含任何未知参数，则称1 2 ng (X ,X，,X )是一个统计量。1 2 n2.3.2 常用统计量设(X ,X，,X )是来自总体X的一个样本，(x ,x ,x )是相应的样本X = 1工X为样本均值ni1 2 n 1 2 n 观察值。定义：niIV#1 -a =xk ；k n iS 2 = X (X X )2为样本方差。S =弋S 2为样本标准差A =-工Xk，k =1，2，3为样本的k阶原点矩 k n iB = 1X (X1
9、 X)k，k =1，2，3为样本值的k阶中心矩 k n i它们的观察值分别为：s 2 =乙(x x)2 ；nib = 1工 (x x)k ； k =1， 2， 3;i =1统计量是我们对总体的分布函数或数字特征进行统计推断的最重要的基本 概念，统计量的分布称为抽样分布。然而要求出一个统计量的精确分布是十分困 难的。而在实际问题中，大多总体都服从正态分布，本节介绍来自正态总体的几 个常用统计量的分布。2.4 自由度 在统计推断中，我们把一群数据或观测值可以独立自由变动的数目称为自由 度，用符号n表示。例如有5个测量值为8, 12, 6, 10, 14,其平均数为10，现将其中四个数任意 变动，如
10、8变成5，12变成7，6变成10，14变成16，均数仍为10，那么10还 能随意变动吗？显然不能,这时它因其它四个数的变化而成为定值 12。所以说 均数一定时,上述观测值的标准差只有4个数可以独立自由地变化,有一个数因 其他数的变化而被固定下来不能任意地变动。2.5 抽样分布抽样分布是样本及统计量的分布。具体的说,从一个给定的总体中抽取(不 论是否有放回)容量(或大小)为n的所有可能的样本，对于每一个样本，计算 出某个统计量(如样本均值或标准差)的值,不同的样本得到的该统计量的值是 不一样的,由此得到这个统计量的分布,称之为抽样分布。统计量是样本的函数, 它是一个随机变量。统计量的分布称为抽样
11、分布。常用的抽样分布除了正态分布，还有t分布、咒2分布、F分布等。3 常用抽样分布及其性质在数理统计中，本文讲解三大抽样分布：丫分布、咒2分布和F分布。以下就 这三个分布一一介绍：3.1咒2分布3.1.1 X 2分布定义设(X ,X ,X )是来自总体X N(0,1)的一个样本，则称统计量：1 2 nX 2 = X 2ii=1所服从的分布是自由度为n( n指上式中所含独立变量的个数)的X2分布。记作：X2 X2(n )3.1.2 X 2分布的性质性质1： X 2分布的可加性：设X2 X2(n ) , X2 x2(n )，且X2与X2相互独立，则:1 1 2 2 1 2性质2：若x2x2(n )
12、，则:E(x2)=n， D(x2)=2n，性质3：设( X , X ,12,X )为来自总体XN( ,G2)的一个样本，卩,G 2 n为已知常数，则：统计量x 2 - x 2(n)(当卩=0时也成立)样本均值X与样本方差S 2相互独立，则统计量：1)(n 1 ) S 2_23.2 t 分布3.2.1 t 分布的定义设XN(0,1)， Yx 2(n)，且X与Y相互独立，则称随机变量：-石所n服从的分布是自由度为n的t分布，记为tt(n)，t分布又称为学生氏(St udent ) 分布。3.2.2 t分布的性质性质1： t分布图像关于x =0对称；性质2： t分布图像在x =0达最大值；性质3：
13、t分布图像以x轴为水平渐近线；性质4：当n fg时，t分布n(0,1)，3.3 F 分布3.3.1 f分布定义U n设Ux 2(n ), Vx 2(n )，且U与V相互独立，则称随机变量F = -L所V 1 2V n 2服从的分布是自由度为(n ,n )的f分布，记作：FF(n ,n )，1 2 1 2其中：n1为第一自由度，n2为第二自由度。3.3.2 F 分布的性质性质1：密度曲线不对称；Xyx性质2：若x2(m),x2(n)，且X与Y独立，贝V： F = *F(m,n)；G 2G 2Y性质3：若FF(m,n)，则一F(n,m)； 性质4：设(X ,X，,X )是来自总体XN(卩Q2)的一个样本，(Y , Y ,Y )12m1112 n是来自总体YN(y Q2)的一个样本，且它们是相互独立，则F =2 i F (m - 1, n - 1)b 2 S 24 几个常用抽样分布的应用在数理统计中，抽样分布具有广泛的应用，抽样分布在参数估计、假设检验分布拟合检验、方差分析和回归分析中的应用，以下简介抽样分布在参数估计、 假设检验、分布拟合检验中的简单应用：4.1咒2分布的简单应用4.1.1 x 2分布在参数估计中的
