《第1章引言题解1 用定义验证下列各集合是凸集： S={(X1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第1章引言题解1 用定义验证下列各集合是凸集： S={(X1（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 章引 言 题 解1. 用定义验证下列各集合是凸集：(1) S= (x1,x2) Ix1+2x21,x1-x21；(2) S= (x1,x2) |x2|x1|；(3)S= (x1,x2) |x21+x22W10.证(1)对集合S中任意两点x (1) =x (1) 1x (1) 2,x (2) =x (2) 1x (2) 2及每个数入WO，1，有入 x (1) + (1-入)x (2)=入 x (1) 1+ (1-入)x (2) 1入 x (1) 2+ (1-入)x (2) 2由题设，有入 x (1) 1+ (1-入)x (2) 1 +2 入 x (1) 2+ (1-入)x (2) 2=入
2、& (1) 1+2x (1) 2) + (1-入)(x (2) 1+2x (2) 2)三入 + (1-入)=1,入 x (1) 1+ (1-入)x (2) 1-入 x (1) 2+ (1-入)x (2) 2=入& (1) 1-x (1) 2) + (1-入)(x (2) 1-x (2) 2)三入 + (1-入)=1,因此，入x (1) + (1-入)x (2)GS，故S是凸集.(2)对集合S中任意两点x (1) =x (1) 1x (1) 2和x (2) =x (2) 1x (2) 2及每个数入WO，1，有入 x (1) + (1-入)x (2)=入 x (1) 1+ (1-入)x (2) 1
3、入 x (1) 2+ (1-入)x (2) 2由题设，有入x (1) 2+(1-入)x (2) 2 三入 |x (1) 1| +(1-入)|x (2) 1| 三| 入x (1) 1+(1-入)x (2) 1|,因此入x (1) + (1-入)x (2)GS,故S是凸集.(3)对集合S中任意两点x (1) =x (1) 1x (1) 2和x (2) =x (2) 1x (2) 2及每个数入 丘0，1，有入 x (1) + (1-入)x (2)=入 x (1) 1+ (1-入)x (2) 1入 x (1) 2+ (1-入)x (2) 2由题设，有入 x (1) 1+ (1-入)x (2) 1 2+
4、 入 x (1) 2+ (1-入)x (2) 2 2=虽2 (1) 21+2 入(1-入)x (1) 1x (2) 1+ (1-入)2x (2) 21+ 入 2x (1) 22+2 入(1-入)x(1) 2x (2) 2+ (1-入)2x (2) 22=入 2 x (1) 21+x (1) 22 + (1-入)2 x (2) 21+x (2) 22 + 入(1- 入)2x (1) 1x (2) 1+2x (1) 2x (2) 2W10 入 2+10 (1-入)2+入(1-入)x (1) 21+x (2) 21+x (1) 22+x (2)22W10 入 2+10 (1-入)2+2 0 入(1-
5、入)=10,因此入x (1) + (1-入)x (2)GS,故S是凸集.2. 设C Rp是一个凸集，p是正整数证明下列集合S是Rn中的凸集：S=x|x丘 Rn,x=A P , PWC,其中A是给定的n X p实矩阵.证对任意两点x (1) ,x (2)GS及每个数入e0,1，根据集合S的定义，存在P1,P2GC,使 x (1) =AP 1, x (2)=AP 2，因此必有入x (1) + (1-入)x (2)=入Ap1+ (1 -入)AP 2=A入P 1+ (1 -入)P2.由于C是凸集，必有入P1+ (1 -入)P2ec,因此入x (1) + (1-入)x (2)es，故S是凸集.3. 证明
6、下列集合S是凸集：S=x|x=Ay,y 三 0,其中A是nXm矩阵,xe Rn,ye Rm.证对任意的x (1) ,x (2)es及每个数入e0,1,存在 y1,y20，使 x (1) =Ay1,x (2) =Ay2，因此有入 x (1) + (1-入)x (2)=A入 y1+ (1-入)y2,而入 y1+ (1-入)y20,故入 x (1) +(1-入)x (2)es，即S是凸集.4. 设S是Rn中一个非空凸集.证明对每一个整数k三2，若x (1) ,x (2)，x (k)e5. 则Eki=1 Nix (i)es,其中入1+入2+入k=1 (入i三0,i=1,2,k).证用数学归纳法.当 k
7、=2 时，由凸集的定义知上式显然成立.设 k=m 时结论成立，当 k=m+1 时 有E m+1i=1 入 ix(i)=E mi=1 入 ix(i)+入 m+1x (m+1)=E mi=1 入 iE mi=1入 iE mi=1 入 ix( i) +入 m+1x (m+1),其中Em+1i=1入i=1 .根据归纳法假设, xA=E mi=1入 iE mi=1 入 ix( i)S.由于E mi=1入 i+ 入 m+1=1，因此E mi=1 入 ixA+ 入 m+1x (m+1)S，即Em+1i=1 Nix (i)GS.于是当k=m+1时结论也成立.从而得证.5.设A是mXn矩阵，B是lXn矩阵，cR
8、n,证明下列两个系统恰有一个有解: 系统 1AxW0,Bx=0,cTx0,对某些 xRn.系统2ATy+BTz=c,庐0,对某些y丘Rm和zGRl.证由于 Bx=0 等价于取W0,取20.因此系统1 有解，即AB-BxW0,cTx0 有解.根据 Farkas 定理，得(ATBT -BT )yuvc,yuv三0无解.记u-v=z，即得ATy+BTz=c,y20无解.反之亦然.6.设A是mXn矩阵，cRn,则下列两个系统恰有一个有解: 系统 1AxW0,x0,cTx0,对某些 xRn.系统2ATy三c,y0,对某些y Rm.证若系统 1 有解，即A-I xW0,cTx0有解，则根据Farkas定理
9、，有（AT -I）yu=c，yu三0无解，即ATy-u=c,y0,u20无解，亦即ATy三 c,y0无解.反之，若ATy三c,y0有解，即ATy-u=c,y三0, u三0有解，亦即（AT -I）yu=c，yu三0有解根据Farkas定理，有A-I xW0,cTx0无解，即AxW0,x0,cTx0无解.7.证明AxW0,cTx0有解.其中A=1-21-111， c=210.证根据 Farkas 定理，只需证明ATy=c,yO无解.事实上，ATy=c,即1-1-2111y1y221O对此线性方程组的增广矩阵做初等行变换1-12-21111O1-120-15 02-21-1201-5008此线性方程组ATy=c的系数矩阵与增广矩阵的秩不等，因此无解，即ATy=c, y0无解根据 Farkas 定理， AxW0,cTx0 有解.8. 证明下列不等式组无解：x1+3x2V0,3x1-x2V0,17x1+11x2 0.证将不等式组写作Axf (0) +f (0) Tx. (1)将f (x)在x-=0处展开，有f (x) =f (0) + f (0) Tx +12xT2f (0) x+o (|x|2) . (2)由(1)式和(2)式知12xT2f (0) x+o (|x|2)0.由于f (x)是二次凸函数，2f (0) =A, o (|x|2) =0,因此xTAx0,即A正定.
