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1、 第8讲 曲线与方程1方程(xy)2(xy1)20表示的曲线是()A一条直线和一条双曲线B两条双曲线C两个点D以上答案都不对解析:选C.(xy)2(xy1)20故或2设圆C与圆x2(y3)21外切,与直线y0相切,则C的圆心轨迹为()A抛物线B双曲线C椭圆 D圆解析:选A.设圆C的半径为r,则圆心C到直线y0的距离为r.由两圆外切可得,圆心C到点(0,3)的距离为r1,也就是说,圆心C到点(0,3)的距离比到直线y0的距离大1,故点C到点(0,3)的距离和它到直线y1的距离相等,符合抛物线的特征,故点C的轨迹为抛物线3设点A为圆(x1)2y21上的动点,PA是圆的切线,且|PA|1,则P点的轨
2、迹方程为()Ay22x B(x1)2y24Cy22x D(x1)2y22解析:选D.如图,设P(x,y),圆心为M(1,0)连接MA,则MAPA,且|MA|1,又因为|PA|1,所以|PM|,即|PM|22,所以(x1)2y22.4(20xx珠海模拟)已知点A(1,0),直线l:y2x4,点R是直线l上的一点,若,则点P的轨迹方程为()Ay2x By2xCy2x8 Dy2x4解析:选B.设P(x,y),R(x1,y1),由知,点A是线段RP的中点,所以即因为点R(x1,y1)在直线y2x4上,所以y12x14,所以y2(2x)4,即y2x.5设mR,在平面直角坐标系中,已知向量a(mx,y1)
3、,向量b(x,y1),ab,则动点M(x,y)的轨迹为()A两条直线B圆或椭圆C双曲线D两条直线或圆或椭圆或双曲线解析:选D.因为ab,a(mx,y1),b(x,y1),所以abmx2y210即mx2y21.当m0时,动点M的轨迹为两条直线,y1,当m1时,动点M的轨迹为圆x2y21,当m0且m1时,动点M的轨迹为椭圆y21,当m2,故点Q的轨迹是以C、F为焦点的双曲线,a1,c2,得b23,所求轨迹方程为x21.答案:x219已知P是椭圆1(ab0)上的任意一点,F1、F2是它的两个焦点,O为坐标原点,则动点Q的轨迹方程是_解析:,如图,22,设Q(x,y),则(x,y),即P点坐标为,又P
4、在椭圆上,则有1,即1.答案:110曲线C是平面内与两个定点F1(1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a1)的点的轨迹给出下列三个结论:曲线C过坐标原点;曲线C关于坐标原点对称;若点P在曲线C上,则F1PF2的面积不大于a2.其中,所有正确结论的序号是_解析:设曲线C上任一点P(x,y),由|PF1|PF2|a2,可得 a2(a1),将原点(0,0)代入等式不成立,故不正确因为点P(x,y)在曲线C上,则点P关于原点的对称点为P(x,y),将P代入曲线C的方程等式成立,故正确设F1PF2,则SF1PF2|PF1|PF2|sin a2sin a2,故正确答案:11已知点A(1,0),
5、B(2,4),ABC的面积为10,求动点C的轨迹方程解:因为|AB|5,所以AB边上高h4.故C的轨迹是与直线AB距离等于4的两条平行线因为kAB,AB的方程为4x3y40,可设轨迹方程为4x3yc0.由4,得c24或c16,故动点C的轨迹方程为4x3y160或4x3y240.12(20xx高考广东卷节选)已知过原点的动直线l与圆C1:x2y26x50相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程解:(1)把圆C1的方程化为标准方程得(x3)2y24,所以圆C1的圆心坐标为C1(3,0)(2)设M(x,y),因为 A,B为过原点的直线l与圆C1的交点,
6、且M为AB的中点,所以由圆的性质知:MC1MO,所以0.又因为(3x,y),(x,y),所以由向量的数量积公式得x23xy20.易知直线l的斜率存在,所以设直线l的方程为ymx,当直线l与圆C1相切时,d2,解得m.把相切时直线l的方程代入圆C1的方程化简得9x230x250,解得x.当直线l经过圆C1的圆心时,M的坐标为(3,0)又因为直线l与圆C1交于A,B两点,M为AB的中点,所以x3.所以点M的轨迹C的方程为x23xy20,其中0,x20,则因为OAB的面积为定值2,所以SOABOAOB(x1)(x2)x1x22.22得x2y2x1x2,而x1x22,所以x2y22.由于x10,x20
7、,所以x0,即所求点M的轨迹方程为x2y22(x0)答案:x2y22(x0)3(20xx唐山模拟)已知P为圆A:(x1)2y28上的动点,点B(1,0)线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M,记点M的轨迹为.(1)求曲线的方程;(2)当点P在第一象限,且cosBAP时,求点M的坐标解:(1)圆A的圆心为A(1,0),半径等于2.由已知|MB|MP|,于是|MA|MB|MA|MP|22|AB|,故曲线是以A,B为焦点,以2为长轴长的椭圆,即a,c1,b1,所以曲线的方程为y21.(2)由cosBAP,|AP|2,得P.于是直线AP的方程为y(x1)由整理得5x22x70,解得x11,x2.由于
8、点M在线段AP上,所以点M坐标为.4(20xx郑州质检)已知动点P到定点F(1,0)和到直线x2的距离之比为,设动点P的轨迹为曲线E,过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A、B两点,直线l:ymxn与曲线E交于C、D两点,与线段AB相交于一点(与A、B不重合)(1)求曲线E的方程;(2)当直线l与圆x2y21相切时,四边形ACBD的面积是否有最大值?若有,求出其最大值及对应的直线l的方程;若没有,请说明理由解:(1)设点P(x,y),由题意可得,整理可得y21.所以曲线E的方程是y21.(2)设C(x1,y1),D(x2,y2),由已知可得|AB|.当m0时,不合题意当m0时,由直线l与圆x2y21相切,可得1,即m21n2.联立消去y得x22mnxn210,4m2n24(n21)2m20,x1,x2,S四边形ACBD|AB|x2x1|,当且仅当2|m|,即m时等号成立,此时n,经检验可知,直线yx和直线yx符合题意