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1、第四章数列 4.1等差数列的通项与求和一、知识导学1. 数列：按一定次序排成的一列数叫做数列.2. 项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首 项），第2项，第n项，.3. 通项公式：一般地，如果数列气的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来 表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列.5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列6. 数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系 可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式递推公式是给出数列的一 种重要方法，其关健是先求出气，气
2、,然后用递推关系逐一写出数列中的项._7. 等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等 于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用 d表示.8. 等差中项:如果a，A，b这三个数成等差数列，那么A =.我们把A = g叫做a和b的等差中项.二、疑难知识导析1. 数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相 同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数 列看做一个定义域为正整数集或其有限子集（1，2, 3,，n）的函数.2. 一个数列的通项公式通常不是唯一的.
3、S（n 1），3. 数列a 的刖n项的和S与a、间的关系：a =/右a适合nnn 之nS - S（n 2）.1nn-1an（n2）,则气不用分段形式表示，切不可不求气而直接求气._4. 从函数的角度考查等差数列的通项公式：an= a1+（n-1）d=d n+ ad, a”是关于n的 一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,气）均匀排列在一条直线上，由两点确定 一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.c dbf a，5、对等差数列的前n项之和公式的理解：等差数列的前n项之和公式可变形为则 S =An2+Bn.S = dn2 + （a - d）n，若令 A= d， n 21 22
4、6、在解决等差数列问题时，如已知，气，气，d，S，n中任意三个，可求其余两个。三、经典例题导讲例1已知数列1，4, 7, 10,，3n+7,其中后一项比前一项大3. （1）指出这个数列的通 项公式；（2）指出1+4+ （3n5）是该数列的前几项之和.错解：(1) a3n+7;_(2) 1+4+(3n5)是该数列的前n项之和.错因：误把最后一项(含n的代数式)看成了数列的通项.(1)若令n=1,a10丰1,显然3n+7不是它的通项.1正解：(1) a =3n2; n(2) 1+4+ (3n5)是该数列的前n1项的和.例2已知数列的前n项之和为 七=2n2 - nS” = n2 + n +1 _求
5、数列E 的通项公式。错解:错因: a = 2n2 n 一 2（n 一 1）2 + （n 一 1） = 4n 一 3n a = n2 + n +1 一 （n 一 1）2 - （n 一 1） 一 1 = 2n在对数列概念的理解上，仅注意了 an=SnSn-1与的关系，没注意a1=S1.-正解当n = 1时，a】=S = 1当 n 2 时，a = 2n2 - n 一 2（n -1）2 + （n -1） = 4n 一 3n经检验n = 1时a = 1 也适合，二 a = 4n 3当n = 1时，a1当 n 2 时，a = n 2 + n +1 一 （n 一 1）2 一 （n 一 1） 一 1 = 2n
6、a =j 3（n =1）n 12n （n 2）例3已知等差数列E 的前nn项之和记为SnS10=10 , S30=70则S40等于错解:错因:正解S30= S10 2d.d = 30,将等差数列中Sm, S2m Sm,10a +10x9 d = 101230a + 30 X 29 d = 7012=100.S40= S30+dS2m成等差数列误解为Sm,3m 2m得a1=2, d = 2515代入得S =4040a + 40 * 39 x 40d = 120。12S2m,S3m成等差数列._S7n +1TT4n + 27/、 a(n e N ),求 7 ；+ b7错解：因为等差数列的通项公式是
7、关于n的一次函数，故由题意令7n+1;bn=4n+27.一例4等差数列kJ、bj的前n项和为斗”.如a 7 x 7 +1107 = b7 4 x 7 + 27 11S错因：误认为tnanbn.a a + a :bb7 + b7S _ 7 x 13 +192亏- 4x 13 + 27 = 79例5已知一个等差数列的通项公式25 5n求数列气|的前n项和；_错解：由an 0得n 5_ = 前5项为非负，从第6项起为负， n Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n 6时，S = I a6 I + I a_ (20 - 5 n )( n - 5 )150 Sn=(20 - 5n)(n - 5)错
8、因：一、把n 6起”的和.n(45 一5n)2(20 一 5n)(n 一 5)+ 50, n 6例6已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220, 由此可以确定求其前n项和的公式吗？ 解：理由如下：由题设：S1= 310 S20 =1220曰 I 10a + 45d = 310Ja = 4得：20a+ 190d = 1220 n d = 6n(n 一 1)=0.3010 ） n e N+（1）问前多少项之和为最S = 4n +_- x 6 = 3n 2 + n例 7已知：a. =1024 + lg2i-n （ lg2大？ （2）前多少项之和的绝对值最小？a = 1024 +
9、(1 - n)lg2 0a = 1024 - n lg2 0n+11024nlg21024n +1 n 3401 n 0 )证明：依题意气+ an+1 = p -,/ a + a = a + a = p:. S = n * a= np12nnn+12n2/ 1g2 x - (1g n2 + 1g p2) 1g x + (1g n + 1g p)2 = 0(1g x - 1g np)2 = 0x = np = s 2 n (获证)。_四、典型习题导练1 .已知。=3且a = S 1 + 2n，求 a 及 S。2 .设 a = v 1 x 2 + ； 2 x 3 +3 x 4 +. n(n +1)
10、，求证： a n2 n 23.求和：1 +1 + 2 1 + 2 + 31 + 2 + 3 + . + n4.求和：(1002 - 992 ) + (982 - 972 ) + . . . + (42 - 32) + (22 - 12)5.已知a,b,c依次成等差数列，求证：a2 -bc,b2 - ac,c2 - ab依次成等差数列.6.在等差数列=中，na + a = 40，贝g a + a + a =()。A. 72 B. 60 C. 48 D. 36 4.2等比数列的通项与求和一、知识导学1. 等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同 一个常数，那么这个数
11、列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比， 公比通常用字母q表示.2. 等比中项：若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项.n %（q = 1）3. 等比数列的前n项和公式：Sn =0，且q丰1时，y=qx是一个指数函数，而y =发 qx是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列a qn的图象是函数y = % qx的图象上的一群孤立的点.q7.在解决等比数列问题时，如已知，aa”，d， S，n中任意三个，可求其余两个。三、经典例题导讲例1已知数列的前n项之和Sn=aqn （ a。0, q。1, q为非零常数），则状为（）。A. 等差数列B. 等比数列C. 既不是等差数列，也不是
12、等比数列D. 既是等差数列，又是等比数列错解： / a= S - S = aqn+1 - aqn = aqn (q -1)a = S - S = aqn-i(q -1)a.= q （常数）anE 为等比数列，即B。n错因：忽略了. a” = Sn - S中隐含条件n1.正解：当 n=1 时，ai=Si = aq;当 n1 时，二 a = S - S i = aqn-1(q -1)af1 = q (常数) ana但 = q -1。q a1E 既不是等差数列，也不是等比数列，选C。 n例2已知等比数列的前n项和记为Sn，Sio=10，S3o=70，则S40等于.错解：S3oq = 70湛 7 .错因:S3o= S1o q 2. . q 2 = 7， q= 土由， /. S4o=是将等比数列中S, S
