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1、第一章 集合与充要条件一、集合的概念（一）概念1. 集合的概念：将某些 的对象看成一个 就构成一个集合，简称为 。 一般用 表示集合。组成集合的对象叫做这个集合的 。一般用 表示集合中的元素。2. 集合与元素之间关系：如果a是集合A的元素，就说a A，记作 ；如果a不是集合A的元素，就说a A，记作 。3. 集合的分类：含有 的集合叫做有限集；含有 的集合叫做无限集； 的集合叫做空集，记作 。（二） 常用的数集：数集就是由 组成的集合。1. 自然数集：所有 组成的集合叫做自然数集，记作 ；2. 正整数集：所有 组成的集合叫做正整数集，记作 ；3. 整数集：所有 组成的集合叫做整数集，记作 ；4
2、. 有理数集：所有 组成的集合叫做有理数集，记作 ；5. 实数集：所有 组成的集合叫做实数集，记作 。（三） 应知应会：1. 自然数：由 和 构成的实数。2. 整数：由 和 构成的实数。 偶数： 被2整除的数叫做偶数； 奇数： 被2整除的数叫做奇数。3. 分数：把 平均分成若干份，表示这样的 或 的数叫做分数。分数中间的 叫做分数线。分数线 的数叫做分母，表示把一个物体 ；分数线 的数叫做分子，表示 。4. 有理数： 和 统称有理数。5. 无理数： 的小数叫做无理数。6. 实数： 和 统称实数。二、集合的表示法表 示 法列 举 法描 述 法定 义 将集合中的元素 表示集合的方法。 利用元素的
3、来表示集合的方法。具体方法1. 将集合中的元素 ；2. 用 分隔；3. 用 括为一个整体。1. 在 中画一条 ；2. 左侧写上集合的 ，并标出元素的 ；（如果上下文中能够明显看出集合中的元素为实数，可以不标出元素的取值范围。）3. 右侧写出元素所具有的 。【注】在使用描述法表示某些集合时，可以用 来叙述集合的 ，再用 括起来。优 点明确、直接看到集合中的元素。清晰地反映出元素的特征性质。不 足能表示的集合有限。抽象，不能直接看出元素。适用类型一般用来表示有限集。一般用来表示无限集。【几个常用集合的表示方法】（一） 数集： 集 合列举法描述法偶数集合正偶数集合负偶数集合奇数集合正奇数集合负奇数集
4、合（二） 点集：在平面直角坐标系中，由x轴上所有点组成的集合由y轴上所有点组成的集合由第一象限所有点组成的集合由第二象限所有点组成的集合由第三象限所有点组成的集合由第四象限所有点组成的集合三、集合之间的关系集合间的关系子 集真子集相 等定 义 一般地，如果集合B的元素 集合A的元素，那么把集合B叫做集合A的子集。 如果集合B是集合A的 ，并且A中 有 元素 属于B，那么把B叫做A的真子集。 一般地，如果两个集合的元素 ，那么就说这两个集合相等。符号表示B A（或A B）B A（或A B）B A（或A B）读 作B A（或A B）B A（或A B）图 示明 确1. 任何一个集合都是它自身的 。2
5、. 空集是任何集合的 ；是任何 集合的 。3. 一个集合中有n个元素，则它的子集的数目为 ； 真子集的数目为 。四、集合的运算（一） 交集1. 定义：一般地，对于两个给定的集合A、B，由 的 所有元素组成的集合叫做A与B的交集。2. 记作：A B；读作：A B。3. 集合表示：。4. 图示：用阴影表示出集合A与B的交集。AAA BBB5. 性质：由交集的定义可知，对任意的两个集合A、B，有（1） ； （2） ；（3）。（二）并集1. 定义：一般地，对于两个给定的集合A、B，由 的 所有元素组成的集合叫做A与B的并集。2. 记作：A B；读作：A B。3. 集合表示：。4. 图示：用阴影表示出集
6、合A与B的并集。AAA BBB5. 性质：由并集的定义可知，对任意的两个集合A、B，有（1）； （2）；（3）。（二） 补集1. 全集：（1）定义：在研究某些集合时，这些集合常常是一个给定集合的 ， 这个给定的集合叫做全集。（2）表示：一般用 来表示全集。（3） 在研究数集时，经常把 作为全集。2. 补集的定义：如果集合A是全集U的 ，那么，由U中 A的所有元素组成的集合叫做A 的补集。3.记作： ；读作： 。4. 集合表示：UA5. 图示：用阴影表示出集合A在全集U中的补集。6. 性质：由补集的定义可知，对任意的集合A，都有（1） ； （2） ；（3） ；（4） ； （5） 。五、充要条件（
7、一）相关概念： 1. 命题：判断一件事情的语句叫做命题。 2. 命题的表示方法：使用小写英语字母p、q、r、s等表示命题。 3. 真命题：成立（正确）的命题是真命题。 4. 假命题：不成立（错误）的命题是假命题。 5. “如果.，那么.”命题：一般形式为“如果p，那么q”。 6. 题设（条件）：“如果”后接的p。 7. 结论：“那么”后接的q。（二）充要条件： 1. 充分条件：“如果p，那么q”是 命题，而“如果q，那么p”是 命题，则称p是q的充分条件。记作：p q；读作：由条件p 结论q。 2. 必要条件：“如果p，那么q”是 命题，而“如果q，那么p”是 命题，则称p是q的必要条件。记作
8、：p q；读作：由结论q 条件p。 3. 充要条件：如果 ，并且 ，那么称p是q的 且 条件，简称充要条件。记作：p q；读作：p与q 。 4. 既不充分又不必要条件：如果 ，并且 ，那么称p是q的既不充分又不必要条件。第二章 不等式一、比较实数大小的方法（一）实数的大小与正负 1. 正数 零，负数 零，正数 负数。 2. 两个正数，绝对值大的数 ；两个负数，绝对值大的数 。 3. 正数的和为 数，负数的和为 数。 4. 同号相乘（除）得 数；毅号相乘（除）得 数。 5. 互为相反数的两个数之和为 ；互为倒数的两个数之积为 。（二）数轴 1. 定义：数轴是一条规定了 、 、 的直线。 2. 意
9、义：数轴上的点与实数是 的关系。 3. 在数轴上，原点所代表的实数是 ，原点右边的点所代表的实数是 数，原点左边的点所代表的实数是 数。 4. 在数轴上，右边的点代表的数总比左边的点代表的数 ， 即，越往右的点代表的数越 ，越往左的点代表的数越 。 5. 在数轴上，表示下列数的范围：（1）x 3；（2）x 2；（3） x 3。（三）比较两个实数大小的方法： 比较法。一般地，对于两个任意的实数a和b，有二、不等式的基本性质 1. 对称性： 。 2. 传递性：。 3. 加法性质：； 。 4. 乘法性质：； ； ； ； 。三、区间（一）区间表示的对象： 。由 上两点间的一切 所组成的集合叫做区间。这两个点叫做区间 。（二）区间的分类及定义：1. 有限区间（1）开区间： 端点的区间。（2）闭区间： 端点的区间。（3）右半开区间： 端点的区间。（4）左半开区间： 端点的区间。2. 无限区间：至少有一个端点 的区间。（1）不存在右端点时，可以用符号 表示，读作 ；（2）不存在左端点时，可以用符号 表示，读作 。（三）区间、集合与图像的关系设a、b为任意实数，且 a b ，则各种区间表示的集合如下表：区 间集 合图 像 a, b ( a, b a, b )四、一元一次不等式1. 定义：含有 个未知数且未知数的最高次数是 的不等式
