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1、2022届高三数学实验班选拔考试试题 文(含解析)一、选择题（本大题共12小题，毎小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1. 已知集合，若，则符合条件的集合的个数为A. 1 B. 2 C. 4 D. 8【答案】C【解析】设为集合的子集，由题意可得：，结合自己个数公式可得：符合条件的集合的个数为个.本题选择C选项.2. 已知复数在复平面内对应的点在第三象限，则在复平面上对应的点在A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A.则，结合题意可得：，即在复平面上对应的点在 第一象限.本题选择A选项.3. 长郡中学将参加摸底测试的1200名
2、学生编号为1，2，3，1200，从中抽取一个容量为50的样本进行学习情况调查，按系统抽样的方法分为50组，如果第一组中抽出的学生编号为20，则第四组中抽取的学生编号为A. 68 B. 92 C. 82 D. 170【答案】B【解析】按照系统抽样的方法结合题意可得：第四组中抽取的学生编号为.本题选择B选项.4. 在菱形中，则A. 5 B. 5 C. D. 【答案】B【解析】设BD交AC于点E，且，由题意可得：.本题选择B选项.5. 已知椭圆与圆交于两点，若四边形（为原点）是菱形，则椭圆的离心率为A. B. C. D. 【答案】B【解析】圆的方程即：，结合对称性可得点A的横坐标，不妨设点A位于第一
3、象限，则，代入椭圆方程有：，整理可得：，则：.本题选择B选项.6. 1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1该猜想看上去很简单，但有的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域至于如此简单明了的一个命题为什么能够开辟一个全新的领域，这大概与它其中蕴含的奇偶归一思想有关如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则处应填写的条件及输出的结果分别为A. 是偶数？；6 B. 是偶数？；8C. 是奇数？；5 D. 是奇数？；7【答案】D【解析】阅读考拉兹提出的猜想，结
4、合流程图可得处应填写的条件及输出的结果分别为：是奇数？；7.本题选择D选项.7. 已知数列是等差数列，若，且，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可得：，解得：，则数列的通项公式：.本题选择A选项.8. 已知函数，将的图象向右平移个单位所得图象关于点对称，将的图象向左平移个单位所得图象关于轴对称，则的值不可能是A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意集合对称中心可得：，据此有：，结合对称轴有：，据此有：，据此可得：的值不可能是.本题选择B选项.9. 若函数的图象上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数关于直线对称的曲线为，据
5、此可得，在区间上，函数与函数存在交点，据此可得实数的取值范围是本题选择D选项.10. 已知双曲线与双曲线，若以四个顶点为顶点的四边形的面积为，以四个焦点为顶点的四边形的面积为，则取到最大值时，双曲线的一条渐近线方程为A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可得：，据此有：，结合均值不等式的结论有：当且仅当，即时，取得最大值，此时双曲线的一条渐近线方程为 .本题选择B选项.11. 如图，在四棱锥中，点是线段的中点，点在线段上，且，与交于点，则线段的长度为A. B. C. D. 【答案】C【解析】如图所示，将原图形补行为一个棱长为4的正方体，由空间几何体的几何关系可得：线段CH的长度为：.
6、本题选择C选项.12. 已知函数在上有两个不同的零点 ，给出下列结论：；其中错误结论的个数是A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】A【解析】由函数的解析式可得 ：，结合函数的定义域可得存在实数，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，据此可得：，极值点偏移可得，错误结论的个数是0个.本题选择A选项.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）13. 已知是偶函数，则_【答案】1【解析】函数是偶函数，则：，即：，解得：.14. 如图，在边长为1的正方形网格中，粗实线画出的某几何体的三视图，则该几何体的表面积为_【答案】【解析】由三视图可得，该几何体是一个正四棱柱，其中底面为对角线
7、长度为，高为，据此可得，该几何体的表面积为：.15. 不等式组表示的平面区域为，若，则的最小值为_【答案】【解析】绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得：函数的最小值为点与直线的距离的平方之值，据此可得，最小值为：.16. 已知等差数列中公差，若成等比数列，且成等比数列，若对任意，恒有，则_【答案】1或2【解析】设等差数列的公差为，由题意可得：，即：，结合整理可得：，由可得：，数列的通项公式：，则：，即数列是首项为公比为的等比数列，则：，据此可得：，结合数列的单调性可得或.三、解答题（本大题共7小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17. 在中，角所对的边分别
8、为，且（）若的面积，求证：；（）如图，在（）的条件下，若分别为的中点，且，求【答案】()证明见解析；().【解析】试题分析：()由题意结合余弦定理和均值不等式的结论即可证得题中的结论；()由题意可得关于实数的方程组，求解方程组可得.试题解析：（）由及正弦定理可得，即，因为，所以，所以，又，由可得在中，由余弦定理可得，所以（）因为分别为的中点，在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，由可得，整理得，所以，由可得 18. 据了解，大学英语四级改革的一项重要内容就是总分改为710分，每个考生会有个成绩，不再颁发“合格证这也意味着，不再有“及格”一说大学英语四级考试425分及以上可以报考大学英语六
9、级考试，英语四级成绩在550分及以上可以报考口语如图是某大学数学专业的40人xx7月英语四级成绩中随机抽取的8人成绩的样本茎叶图：（百位为茎，十、个位为叶）（）通过这8人英语四级成绩估计某大学数学专业英语四级成绩的平均数和中位数；（）在样本数据中，从可以报考大学六级考试的学生中任取两人，求这两人都可以报考口语的概率【答案】()平均数为500，中位数为502.5；().【解析】试题分析：()结合所选的人的成绩可得数学专业英语四级成绩的平均数为500，中位数为502.5()列出所有可能的结果，结合古典概型公式可得这两人都可以报考口语的概率是.试题解析：（）这8人英语四级成绩的平均数为（386410
10、450485520564575610）8500， 这8人英语四级成绩的中位数为（485520）2502.5，则某大学数学专业英语四级考试成绩的平均数为500，中位数为502.5（）设可以报考大学六级考试但不能报考口语的3人成绩为，可以报考口语的三人成绩为，全部情况列举出来为共计15种 这两人都可以报考口语的情况为共计3种， 则这两人都可以报考口语的概率为19. 如图所示，所在的平面与菱形所在的平面垂直，且，点为的中点，点在线段上（）若，且，求的值；（）在（）的条件下，求三棱锥的体积【答案】()3；().【解析】试题分析：()由题意结合几何关系得到线段的比例关系，据此可得；()转化顶点可求得三棱
11、锥的体积为.试题解析：（）取的中点，连接，因为四边形为菱形，所以，因为所在的平面与菱形所在平面垂直，所以，因为，所以，又，且，所以，因为，所以，由为的中点，可得，所以，即（）由，可得，由，可得点到的距离为，由菱形中，点为的中点，可得，且，所以的面积，所以三棱锥的体积又，所以三棱锥的体积为20. 已知抛物线及点，动直线与抛物线交于、两点，若直线与的倾斜角分别为，且（）求抛物线的方程；（）若为抛物线上不与原点重合的一点，点是线段上与点，不重合的任意一点，过点作轴的垂线依次交抛物线和轴于点，求证：【答案】() ；()证明见解析.【解析】试题分析：()联立直线与抛物线的方程，结合直线的斜率关系可得抛物
12、线的方程为()设出点的坐标，联立直线与抛物线的方程，由几何关系即可证得题中的结论成立.试题解析：（）把直线代入得， 设，则， 由可知，直线的斜率与的斜率之和为零， 所以，去分母整理得， 即，由该式对任意实数恒成立，可得， 抛物线的方程为（）证明：设过点的垂线为，联立，得，即点 令，则，所以直线方程为， 联立，得，即点， 所以，所以，即21. 设函数（）若对任意的实数，曲线在处的切线斜率恒为零，求的值；（）若，求证：【答案】()1；()证明见解析.【解析】试题分析：()由题意得到实数a满足的条件，然后解方程可得;()由题意结合函数的解析式分类讨论即可证得题中的结论.试题解析：（），由题设知，即，
13、 即，因为该等式对任意的实数恒成立 所以，所以（）， 因为， 若，则，当时，； 当时，在上单调递减，在上单调递增 所以； 由，可得，所以 若，则，故当时，在上单调递增， 所以，此时，所以 若，则， 所以当时，在上单调递增所以； ， 因为，所以，故， 综上可得22. 如图，、分别是圆的切线和割线，其中为切点，为切线的中点，弦、相交于点，弦延长线上的点，满足求证：、三点共线的充分必要条件是、三点共线【答案】证明见解析.【解析】试题分析：由题意作出辅助线，结合题中的位置关系和赛瓦定理即可证得题中的结论.试题解析：解：由为圆的切线知，又，（1）若、三点共线设直线，交于点。则由塞瓦定理知，又点、均在直线上，因此、重合、三点共线（2）若、三点共线设直线、相交于点则由塞瓦定理知，为的中点、重合、三点共线由（1）、（2）可得，、三点共线的充分必要条件是、三点共线。（若有另外的解法，言之成理亦可得分。）23. 在平面直角坐标
