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1、第五章 定积分及其应用本章开始讨论积分学中的另一个基本问题：定积分.首先我们从几何学与力学问题引进定积分的定义,之后讨论它的性质与计算方法.最后，来讨论定积分的应用问题. 第1节 定积分的概念与性质1.1 定积分问题举例1.1.1 曲边梯形的面积曲边梯形: 设函数在区间上非负、连续. 由直线及曲线所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边. 求曲边梯形的面积的近似值: 将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形,每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积, 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值. 具体方法是: 在区间中任意插入若干个分点（图5-1） 把分成个小区间 它们的长度依次为 经过每
2、一个分点作平行于轴的直线段, 把曲边梯形分成个窄曲边梯形.在每个小区间上任取一点 以为底、为高的窄矩形近似替代第个窄曲边梯形，把这样得到的个窄矩形面积之和作为所求曲边梯形面积的近似值, 即 求曲边梯形的面积的精确值: 显然, 分点越多、每个小曲边梯形越窄, 所求得的曲边梯形面积的近似值就越接近曲边梯形面积的精确值, 因此, 要求曲边梯形面积的精确值, 只需无限地增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零. 记于是, 上述增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零, 相当于令所以曲边梯形的面积为图5-11.1.2 变速直线运动的路程 设物体作直线运动, 已知速度是时间间隔上的连续函数, 且计算在这段
3、时间内物体所经过的路程 . 求近似路程: 我们把时间间隔分成个小的时间间隔 , 在每个小的时间间隔内, 物体运动看成是均速的, 其速度近似为物体在时间间隔内某点的速度, 物体在时间间隔内 运动的路程近似为把物体在每一小的时间间隔内 运动的路程加起来作为物体在时间间隔内所经过的路程的近似值. 具体做法是: 在时间间隔内任意插入若干个分点 分成个小段 各小段时间的长依次为 相应地, 在各段时间内物体经过的路程依次为 在时间间隔上任取一个时刻 以时刻的速度来代替上各个时刻的速度, 得到部分路程的近似值, 即 于是这段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程的近似值, 即; 求精确值: 记当时,
4、取上述和式的极限, 即得变速直线运动的路程. 1.2 定积分的概念 抛开上述问题的具体意义, 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括, 就抽象出下述定积分的定义. 定义 设函数在上有界, 在中任意插入若干个分点把区间分成个小区间 各小段区间的长依次为在每个小区间上任取一个点作函数值与小区间长度的乘积并作出和. 记,如果不论对怎样分法, 也不论在小区间上点怎样取法, 只要当时, 和S 总趋于确定的极限I, 这时我们称这个极限I为函数在区间上的定积分, 记作, 即.其中叫做被积函数, 叫做被积表达式, x叫做积分变量, a 叫做积分下限, b 叫做积分上限, 叫做积分区间. 根据定积分的定义
5、, 曲边梯形的面积为. 变速直线运动的路程为. 说明: (1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的记法无关, 即. (2)和通常称为f (x)的积分和. (3)如果函数在上的定积分存在, 我们就说在区间上可积. 函数在上满足什么条件时, 在上可积呢？ 定理1 设在区间上连续, 则f (x) 在上可积. 定理2 设在区间上有界, 且只有有限个间断点, 则 在上可积. 定积分的几何意义: 设是上的连续函数，由曲线及直线所围成的曲边梯形的面积记为.由定积分的定义易知道定积分有如下几何意义：（1）当时，（2）当时，（3）如果在上有时取正值，有时取负值时，那么以为底边，以曲线为曲边的曲
6、边梯形可分成几个部分，使得每一部分都位于轴的上方或下方.这时定积分在几何上表示上述这些部分曲边梯形面积的代数和，如图5.3所示，有其中分别是图5-2中三部分曲边梯形的面积，它们都是正数.图5-2 例1. 利用定义计算定积分. 解 把区间0, 1分成n等份, 分点和小区间长度分别为(i=1, 2, , n-1), (i=1, 2, , n) . 取作积分和. 因为, 当时, 所以.图5-3 例2 用定积分的几何意义求. 解 函数在区间上的定积分是以为曲边, 以区间为底的曲边梯形的面积. 因为以为曲边, 以区间为底的曲边梯形是一直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以.图5-4例3利用定积分的几何
7、意义，证明.证明 令 ，显然，则由和直线，所围成的曲边梯形是单位圆位于轴上方的半圆.如图5-5所示.因为单位圆的面积，所以半圆的面积为.由定积分的几何意义知： .图5-5 1.3 定积分的性质 两点规定: (1)当时, . (2)当时, . 性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即. 证明: . 性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即. 这是因为. 性质3 如果将积分区间分成两部分 则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和 即 . 这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性. 值得注意的是不论的相对位置如何总有等式成立. 例如, 当时, 由于,于是有. 性
8、质4 如果在区间上f (x)1 则 . 性质5 如果在区间上 f (x)0, 则(ab). 推论1 如果在区间上 f (x) g(x) 则(ab). 这是因为g (x)-f (x)0, 从而,所以. 推论2 (ab). 这是因为-|f (x)| f (x) |f (x)|, 所以,即 性质6 设M 及m 分别是函数在区间上的最大值及最小值, 则(ab). 证明 因为 m f (x) M , 所以,从而. 性质7 (定积分中值定理) 如果函数在闭区间上连续, 则在积分区间上至少存在一个点x , 使下式成立: .这个公式叫做积分中值公式. 证明 由性质6 ,各项除以 得,再由连续函数的介值定理,
9、在上至少存在一点x , 使,于是两端乘以得中值公式.注意: 不论还是, 积分中值公式都成立.并且它的几何意义是:由曲线,直线和轴所围成曲边梯形的面积等于区间上某个矩形的面积,这个矩形的底是区间,矩形的高为区间内某一点处的函数值，如图5-6所示.图5-6习题 5-11.利用定积分的概念计算下列积分.（1）; （2） ().2.说明下列定积分的几何意义，并指出它们的值.（1）； （2）；（3）； （4）.3.不经计算比较下列定积分的大小（1）与; （2）与;（3）与; （4）与.4.设为区间上单调增加的连续函数，证明：5.用定积分定义计算极限第2节 微积分基本公式2.1 变速直线运动中位置函数与速
10、度函数之间的联系 设物体从某定点开始作直线运动, 在时刻所经过的路程为, 速度为则在时间间隔内物体所经过的路程可表示为及,即. 上式表明, 速度函数在区间上的定积分等于的原函数在区间上的增量. 这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？2.2 积分上限函数及其导数 定义 设函数在区间上连续, 并且设为上的一点. 我们把函数在部分区间上的定积分称为积分上限的函数. 它是区间上的函数, 记为, 或. 定理1 如果函数在区间上连续, 则函数在上具有导数, 并且它的导数为. 证明 若 , 取使 ,应用积分中值定理, 有 其中在与之间, 时, . 于是即 若 , 取, 则同理可证; 若 , 取, 则同
11、理可证. 推论 如果可导，则更一般的有例1 计算.解 =.例2 求极限.解 因为，所以这个极限是型的未定式，利用洛必达法则得= =.例3 设在内连续且. 证明函数在内为单调增加函数. 证明 , . 故.按假设, 当时所以, ,从而这就证明了在内为单调增加函数. 定理2 如果函数在区间上连续, 则函数就是在上的一个原函数. 定理的重要意义: 一方面肯定了连续函数的原函数是存在的, 另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系. 2.3 牛顿-莱布尼茨公式 定理3 如果函数是连续函数在区间上的一个原函数, 则.此公式称为牛顿-莱布尼茨公式, 也称为微积分基本公式. 证明 已知函数是连续函
12、数的一个原函数, 又根据定理2, 积分上限函数也是的一个原函数. 于是有一常数, 使 当时, 有，而，所以; 当时, , 所以, 即 . 为了方便起见, 可把记成, 于是.该公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系. 例4 计算. 解 由于是的一个原函数, 所以. 例5 计算. 解 由于是的一个原函数, 所以. 例6 计算.解 =ln 1-ln 2=-ln 2.例7 求.解 =. 例8 计算正弦曲线y=sin x在0, p上与x轴所围成的平面图形的面积. 解 这图形是曲边梯形的一个特例. 它的面积=-(-1)-(-1)=2.习题5-21.设，求；2.设，求；3.求下列函数的导数（1）； （2）；（3）； （4）.4.计算下列导数（1）； （2）； （3）.5.求下列极限（1）； （2）.6.计算下列定积分（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）；（7）; （8）; （9）;（10）; （11）; （12）;（13）; （14）; （15）;（16）; （17）; （18）8设，求.第3节 定积分的计算3.1 定积分的换元积分法 定理
