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1、 . . 大学最优化方法复习题（含答案）第一章 概述(包括凸规划)一、 判断与填空题1 23 设若，对于一切恒有，则称为最优化问题的全局最优解.4 设若，存在的某邻域，使得对一切恒有，则称为最优化问题的严格局部最优解.5 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值.6 非空集合为凸集当且仅当中任意两点连线段上任一点属于.7 非空集合为凸集当且仅当中任意有限个点的凸组合仍属于.8 任意两个凸集的并集为凸集.9 函数为凸集上的凸函数当且仅当为上的凹函数.10 设为凸集上的可微凸函数，. 则对，有11 若是凹函数，则是凸集。12 设为由求解的算法A产生的迭代序列，假设算法A为下降算法，则对，恒有
2、.13 算法迭代时的终止准则（写出三种）：_。14 凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。15 函数在点沿着迭代方向进行精确一维线搜索的步长，则其搜索公式为.16 函数在点沿着迭代方向进行精确一维线搜索的步长，则0.17 设为点处关于区域的一个下降方向，则对于，使得二、 简述题1 写出Wolfe-Powell非精确一维线性搜索的公式。2 怎样判断一个函数是否为凸函数.（例如: 判断函数是否为凸函数）三、 证明题1 证明一个优化问题是否为凸规划.（例如 判断（其中G是正定矩阵）是凸规划.2 熟练掌握凸规划的性质与其证明.第二章 线性规划考虑线性规划问题：其中， 为给定的数据，且rank一、 判断与
3、选择题1 (LP)的基解个数是有限的.2 若(LP)有最优解，则它一定有基可行解为最优解.3 (LP)的解集是凸的.4 对于标准型的(LP)，设由单纯形算法产生，则对，有5 若为(LP)的最优解， 为(DP)的可行解，则6 设是线性规划(LP)对应的基的基可行解，与基变量对应的规式中，若存在，则线性规划(LP)没有最优解。7 求解线性规划(LP)的初始基可行解的方法：_.8 对于线性规划(LP)，每次迭代都会使目标函数值下降.二、 简述题1 将以下线性规划问题化为标准型：2 写出以下线性规划的对偶线性规划：三、 计算题熟练掌握利用单纯形表求解线性规划问题的方法（包括大M法与二阶段法）. 见书本
4、：例2.5.1 (利用单纯形表求解);例2.6.1 (利用大M法求解); 例2.6.2 (利用二阶段法求解).四、 证明题熟练掌握对偶理论（弱对偶理论、强对偶理论以与互补松弛条件）与利用对偶理论证明相关结论。第三章 无约束最优化方法一、 判断与选择题1 设为正定矩阵，则关于共轭的任意向量必线性相关.2 在牛顿法中，每次的迭代方向都是下降方向.3 经典Newton法在相继两次迭代中的迭代方向是正交的.4 PRP共轭梯度法与BFGS算法都属于Broyden族拟Newton算法.5 用DFP算法求解正定二次函数的无约束极小化问题，则算法中产生的迭代方向一定线性无关.6 FR共轭梯度法、PRP共轭梯度
5、法、DFP算法、与BFGS算法均具有二次收敛性.7 共轭梯度法、共轭方向法、DFP算法以与BFGS算法都具有二次终止性.8 函数在处的最速下降方向为.9 求解的经典Newton法在处的迭代方向为.10 若在的邻域具有一阶连续的偏导数且，则为的局部极小点.11 若在的某邻域具有二阶连续的偏导数且为的严格局部极小点，则正定.12 求解的最速下降法在处的迭代方向为.13 求解的阻尼Newton法在处的迭代方向为.14 用牛顿法求解时，至多迭代一次可达其极小点.15 牛顿法具有二阶收敛性.16 二次函数的共轭方向法具有二次终止性.17 共轭梯度法的迭代方向为：_.二、证明题1 设为一阶连续可微的凸函数
6、，且，则为的全局极小点.2 给定和正定矩阵. 如果为求解的迭代点，为其迭代方向，且为由精确一维搜索所的步长，则3 试证：Newton法求解正定二次函数时至多一次迭代可达其极小点.四、 简述题1 简述牛顿法或者阻尼牛顿法的优缺点.2 简述共轭梯度法的基本思想.五、 计算题1 利用最优性条件求解无约束最优化问题.例如：求解2 用FR共轭梯度法无约束最优化问题. 见书本：例3.4.1.3 用PRP共轭梯度法无约束最优化问题.见书本：例3.4.1.例如：第四章 约束最优化方法考虑约束最优化问题：其中，一、判断与选择题1 外罚函数法、罚函数法、与乘子法均属于SUMT.2 使用外罚函数法和罚函数法求解（N
7、LP）时，得到的近似最优解往往不是（NLP）的可行解.3 在求解（NLP）的外罚函数法中，所解无约束问题的目标函数为.4 在（NLP）中，则在求解该问题的罚函数法中，常使用的罚函数为.5 在（NLP）中，则在求解该问题的乘子法中，乘子的迭代公式为，对.6 在（NLP）中，则在求解该问题的乘子法中，增广的Lagrange函数为：_7 对于(NLP)的KT条件为：_二、计算题1 利用最优性条件(KT条件)求解约束最优化问题.2 用外罚函数法求解约束最优化问题.见书本：例4.2.1；例4.2.2.3 用罚函数法求解约束最优化问题.见书本：例4.2.3.4 用乘子法求解约束最优化问题.见书本：例4.2
8、.7；例4.2.8.三、简述题1 简述SUMT外点法的优缺点.2 简述SUMT点法的优缺点.四、证明题利用最优性条件证明相关问题. 例如：设为正定矩阵，为列满秩矩阵.试求规划的最优解，并证明解是唯一的.第五章 多目标最优化方法一、判断与选择题1 求解多目标最优化问题的评价函数法包括.2 通过使用评价函数，多目标最优化问题能够转化为单目标最优化问题.3 设，则在上的一般多目标最优化问题的数学形式为.4 对于规划，设，若不存在使得，则为该最优化问题的有效解.5 一般多目标最优化问题的绝对最优解必是有效解.6 对于规划，设为相应于的权系数，则求解以上问题的线性加权和法中所求解优化的目标函数为.7 利用求解的线性加权和法所得到的解，或者为原问题的有效解，或者为原问题的弱有效解.二、简述题1 简单证明题绝对最优解、有效解、与弱有效解之间的关系.l 第5.2节中几个主要结论的证明.2 简单表达题简述求解一般多目标规划的评价函数法的基本思想.l 简述求解一般多目标规划的线性加权和法的基本思想.简述求解一般多目标规划的理想点法的基本思想.l 简述在求解一般多目标规划的评价函数法中，确定权系数方法的基本思想. /
